Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 16 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 16%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 20 jaar lang aan het eind van elke maand €150. De rekening geeft 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1505,4% / 12N = 240
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 5 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4,5%) als het effectieve rendement 9% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 9,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 5y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €935. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 8P = €935
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,5 heeft een vereist rendement van 9%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,5re = 9%rf = 3%
rm = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €38,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 10%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €40 000 en levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €13 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 000, €19 000, €23 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 19 000CF3 = 23 500
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 16,64 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,16/2 = 0,08
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,08)2 − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%
Antwoord
EAR = 16,64%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 64585 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80
YTM = 5,006%
Antwoord
YTM = 5,006%
5.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 7 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (9% − 3%)/1,5 = 4%
Marktrendement
rm = 3% + 4% = 7%
Antwoord
rm = 7%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,91 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 13 000/1,12 = 11 607,14 → Σ = 11 607,14
jaar 2: 13 000/1,254 = 10 363,52 → Σ = 21 970,66
jaar 3: 13 000/1,405 = 9 253,14 → Σ = 31 223,81
jaar 4: 13 000/1,574 = 8 261,74 → Σ = 39 485,54
jaar 5: 13 000/1,762 = 7 376,55 → Σ = 46 862,09
Fractie van het laatste jaar
DPB = 4 + 514,46/7 376,55 = 4,07
Antwoord
DPB = 4,07 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,077 jaar).
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,78 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 4 267,47
NPV(15%) = −181,64
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.