Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 6 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0005% / 4n = 6
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €150 0004,8% / 12N = 240
I = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 4,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 3%n = 11y1 = 3,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 11 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 192. De uitgever kan haar over 4 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 192aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 4 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 9,09%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 28%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €20,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €8 000, €8 000, €6 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €40 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €14 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €40 000CF = €14 000n = 3
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 37110 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·6 = 24
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,347 = €37 109,85
Antwoord
PV = €37 109,85
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 83625 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,004, N = 240
A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−240) = €973,44
Totale rente
I = N·A − P = 240·973,4 − 150 000 = €83 624,69
Antwoord
I = €83 624,69
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −82,93 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1192 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
Los numeriek op
y = 5%: €1 215,88
y = 6%: €1 175,24
YTC = 5,582%
Antwoord
YTC = 5,582%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,503%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
5.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,2857·6%·(1 − 0,28) = 1,234%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,09% − 1,234%)/0,7143 = 11%
Antwoord
re = 11%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,189 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 5 000 000·€20,00 = €100 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 0,9·5% = 8%
Gewichten
V = €119 200 000, E/V = 0,8389, D/V = 0,1611
WACC
WACC = 0,8389·8% + 0,1611·4%·(1 − 0,258) = 7,189%
Antwoord
WACC = 7,189%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −970,9 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 8 000/1,08 = 7 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 8 000/1,166 = 6 858,71
CF3/(1 + 0,08)3 = 6 000/1,26 = 4 762,99
Optellen
NPV = €−970,89
Antwoord
NPV = €−970,89
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 2,48 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 40 000/14 000 = 2,857
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.