Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 192 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 4 mm en een vertraging van 3 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 192 mmm = 4 mmi = 3

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 16 tanden en elk planeetwiel 18 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 900 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 16N_p = 18n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 1 m draagt een wringend moment van 750 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 750 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −30 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Het element wordt 30° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 25 mm draagt een axiale drukkracht van 110 kN samen met een wringend moment van 1000 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 25 mmF = −110 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 80 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 1070 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 40 kgk = 80 kN/mc = 1070 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 60 kN/m en k₂ = 50 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 72

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·192/4 = 96

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

Antwoord

N₂ = 72

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 211,8 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −52/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·16/68 = 211,8 rpm

Antwoord

n_c = 211,8 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 76,17 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1000/(26000·0,008727) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

Antwoord

d = 76,17 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 58,39 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/408885 = 58,39 MPa

Antwoord

τ_max = 58,39 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 35,8 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −15 − (−15)·0,5 − 50·(−0,866) = 35,8 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −65,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 35,8 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 232,6 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −110000/(π·25²/4) = −110000/490,9 = −224,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325,9 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −112 MPa

R = √((−112)² + 325,9²) = 344,7 MPa

σ₁ = C + R = 232,6 MPa

σ₂ = C − R = −456,7 MPa

Antwoord

σ₁ = 232,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2681 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 300000·400/4,477 × 10⁸ = 0,2681 mm

Antwoord

δ = 0,2681 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 84,88 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·353429/589049 = 60000 N

Spanning

σ₂ = 60000/706,9 = 84,88 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 84,88 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,504 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3,504 kN

Antwoord

P_cr = 3,504 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 19,28 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Antwoord

σ_cr = 19,28 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,2991

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·40) = 3578 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 1070/3578 = 0,2991

Antwoord

ζ = 0,2991

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,643 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 60 + 50 = 110 kN/m

k_eq = 110·100/(110 + 100) = 52,38 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(52381/100) = 22,89 rad/s

f_n = 22,89/(2π) = 3,643 Hz

Antwoord

f_n = 3,643 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design