Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 5,5 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel aan met 24 tanden en een module van 3 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 5,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (12 tanden) op de ingaande as met 1450 rpm en drijft tandwiel B (20 tanden) aan. Tandwiel C (32 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 580 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1450 rpmA = 12B = 20C = 32n_out = 580 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 20 kW overbrengen bij 3000 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 20 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 500 mm en wanddikte 10 mm bevat gas met een overdruk van 3 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 500 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 100 kNdeel 1: Ø35 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm één periode later een piek van 20,6 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₁ = 20,6 mmn = 1

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 40 kN/m en k₂ = 15 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 503,1 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 5500/303,7 = 18,11 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 3·24 = 72 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·18,11/0,072 = 503,1 N

Antwoord

F_t = 503,1 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1450·12/20 = 870 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 32·870/580 = 48

Antwoord

N_D = 48

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,754 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Antwoord

φ = 1,754°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 16,29 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·80·0,9375)) = 16,29 mm

d_i = 0,5·16,29 = 8,145 mm

Antwoord

d_o = 16,29 mm

Een massieve as zou d = 15,94 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 31,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((20 − 40)/2)² + −30²) = 31,62 MPa

Antwoord

τ_max = 31,62 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 52,99 MPa

Spanningen in de wand

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 3·250/10 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 37,5·sin²50° + 75·cos²50° = 52,99 MPa

Antwoord

σ_n = 52,99 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 48,09 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/6,239 × 10⁻⁶ = 48086 N = 48,09 kN

Antwoord

P = 48,09 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 7,861 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103,9·1000/70000 = 1,485 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·1500/117000 = 6,376 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,861 mm

Antwoord

δ = 7,861 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 17,13 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17,13 kN

Antwoord

P_cr = 17,13 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwoord

σ_cr = 27,76 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05972

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/1)·ln(30/20,6) = 0,3759

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3759/√(39,48 + 0,1413) = 0,05972

Antwoord

ζ = 0,05972

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 13,41 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 40 + 15 = 55 kN/m

k_eq = 55·100/(55 + 100) = 35,48 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(35484/5) = 84,24 rad/s

f_n = 84,24/(2π) = 13,41 Hz

Antwoord

f_n = 13,41 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design