Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 125 mm met 1500 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 300 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (60 tanden) aan. Tandwiel C (20 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 60C = 20D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 75 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 60 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 8 kg aan een veer met een stijfheid van 4 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 8 kgk = 4 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 10 kN/m en k₂ = 15 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 612,5 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1500·125/300 = 625 rpm

Met slip

n₂ = 625·0,98 = 612,5 rpm

Antwoord

n₂ = 612,5 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 266,7 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 3000·16/60 = 800 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 800·20/60 = 266,7 rpm

Antwoord

n_out = 266,7 rpm

totale overbrengingsverhouding = 11,25 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,4 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·15708) = 0,1989 rad

φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Antwoord

φ = 11,4°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 36,5 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36,5 mm

Antwoord

d = 36,5 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −78,69 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −60/65 = −0,9231, sin 2θ_s = −25/65 = −0,3846

2θ_s = atan2(−25, −60) = −157,4°

Hoek op het element

θ_s = −78,69°

controle: θ_s − θ_p = −78,69 − (−33,69) = −45°

Antwoord

θ_s = −78,69°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 135,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 10 MPa, R = 78,1 MPa

σ₁ = 88,1 MPa, σ₂ = −68,1 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(88,1² − 88,1·(−68,1) + (−68,1)²) = 135,6 MPa

Antwoord

σ_vM = 135,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 56,02 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

Belasting

P = 0,25/4,463 × 10⁻⁶ = 56019 N = 56,02 kN

Antwoord

P = 56,02 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,149 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 191 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·1500/100000 = 0,7162 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·1500/200000 = 1,432 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,149 mm

Antwoord

δ = 2,149 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 110,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Antwoord

P_cr = 110,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 3,082 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(4000/8) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,5²) = 3,082 Hz

Antwoord

f_d = 3,082 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,948 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 10 + 15 = 25 kN/m

k_eq = 25·40/(25 + 40) = 15,38 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(15385/25) = 24,81 rad/s

f_n = 24,81/(2π) = 3,948 Hz

Antwoord

f_n = 3,948 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design