Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 100 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2,5 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 100 mmm = 2,5 mmi = 4

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as met 1440 rpm en drijft tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (30 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 187,5 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1440 rpmA = 15B = 72C = 30n_out = 187,5 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 15 mm getordeerd door een wringend moment van 40 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 200 mm verdraaien 3,55° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 40 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 1500 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 3 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 20 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 65 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 65 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 10 mm 2 perioden later een piek van 2,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,2 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 30 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 64

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/2,5 = 80

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

N₂ = 4·16 = 64

Antwoord

N₂ = 64

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1440·15/72 = 300 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 30·300/187,5 = 48

Antwoord

N_D = 48

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 25,98 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Glijdingsmodulus

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Antwoord

G = 25,98 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 15,08 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 100 = 1600 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,6 × 10⁶·3000/(39000·613592) = 0,2006 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·613592) = 0,06268 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,2006 + 0,06268 = 0,2633 rad → |φ_C| = 15,08°

Antwoord

φ_C = 15,08°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 58,31 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((150 − 50)/2)² + 30²) = 58,31 MPa

Antwoord

τ_max = 58,31 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 86,52 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 85 + 55·0,5 + −30·0,866 = 86,52 MPa

Antwoord

σ_θ = 86,52 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 30,73 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/8,135 × 10⁻⁶ = 30733 N = 30,73 kN

Antwoord

P = 30,73 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,6167 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,92·1500/200000 = 0,1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·1000/200000 = 0,4974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6167 mm

Antwoord

δ = 0,6167 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 168,4 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2500² = 168441 N = 168,4 kN

Antwoord

P_cr = 168,4 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 62,58 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 62,58 mm

Antwoord

d = 62,58 mm

Controle: de slankheid KL/r is 127,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1196

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(10/2,2) = 0,7571

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Antwoord

ζ = 0,1196

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,2 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 50 + 12 = 62 kN/m

k_eq = 62·30/(62 + 30) = 20,22 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(20217/50) = 20,11 rad/s

f_n = 20,11/(2π) = 3,2 Hz

Antwoord

f_n = 3,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design