Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 120 mm met 1500 rpm. De spanning is 1500 N in het trekkende deel en 600 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.
d1 = 120 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as, die met 2900 rpm draait, tandwiel B (20 tanden) aan. Tandwiel C (32 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (40 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
nin = 2900 rpmA = 15B = 20C = 32D = 40
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Een holle as brengt 15 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.
P = 15 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.
σx = 70 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een massieve as met diameter 25 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 200 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ1.
d = 25 mmM = 200 N·mT = 200 N·m
σ1 = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.
segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 115 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 115 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (staal)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 80 kgk = 150 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 12 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 25 kN/m en k₂ = 40 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 100 kgk1 = 25 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: P = 8,482 kW
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Riemsnelheid
v = 9,425 m/s
Vermogen
P = (1500 − 600)·9,425 = 8482 W = 8,482 kW
Antwoord
P = 8,482 kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: nout = 1740 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Eerste trap
nB = 2900·15/20 = 2175 rpm = nC
Tweede trap
nout = 2175·32/40 = 1740 rpm
Antwoord
nout = 1740 rpm
totale overbrengingsverhouding = 1,667 : 1
3.Torsie van assen
Antwoord: φ = 11,69 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Wringhoek
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(39000·251327) = 0,204 rad
φ = 0,204·180/π = 11,69°
Antwoord
φ = 11,69°
4.Torsie van assen
Antwoord: τmax = 4,119 MPa
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m
Polair traagheidsmoment
J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴
Maximale schuifspanning
τmax = T·(do/2)/J = 477465·50/5,796 × 10⁶ = 4,119 MPa
Antwoord
τmax = 4,119 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τmax = 53,15 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Straal van de cirkel van Mohr
τmax = R = √(((70 − 0)/2)² + 40²) = 53,15 MPa
Antwoord
τmax = 53,15 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: σ1 = 157,4 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Spanningen aan het oppervlak
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa
Cirkel van Mohr
C = σ/2 = 65,19 MPa
R = √(65,19² + 65,19²) = 92,19 MPa
σ1 = C + R = 157,4 MPa
σ2 = C − R = −27 MPa
Antwoord
σ1 = 157,4 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: P = 41,58 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Oppervlakken
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²
Soepelheden
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N
Belasting
P = 0,2/4,81 × 10⁻⁶ = 41580 N = 41,58 kN
Antwoord
P = 41,58 kN
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 6,49 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 30000·659734/1,079 × 10⁶ = 18350 N
Spanning
σ2 = 18350/2827 = 6,49 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 6,49 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 71,06 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
Kniklengte
KL = 1·2500 = 2500 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN
Antwoord
Pcr = 71,06 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: d = 56,88 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 56,88 mm
Antwoord
d = 56,88 mm
Controle: de slankheid KL/r is 147,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 6,574 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(150000/80) = 43,3 rad/s
fn = 43,3/(2π) = 6,892 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6,892·√(1 − 0,3²) = 6,574 Hz
Antwoord
fd = 6,574 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 1,602 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
k12 = 25 + 40 = 65 kN/m
keq = 65·12/(65 + 12) = 10,13 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(10130/100) = 10,06 rad/s
fn = 10,06/(2π) = 1,602 Hz
Antwoord
fn = 1,602 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design