Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 160 mm met 2880 rpm. De spanning is 1200 N in het trekkende deel en 600 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as, die met 1450 rpm draait, tandwiel B (32 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (24 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1450 rpmA = 15B = 32C = 18D = 24

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 25 mm en lengte 0,8 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 0,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 250 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 250 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 15 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 355 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 10 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 240 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 10 kgk = 150 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 5 kN/m en k₂ = 12 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 14,48 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 24,13 m/s

Vermogen

P = (1200 − 600)·24,13 = 14476 W = 14,48 kW

Antwoord

P = 14,48 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 509,8 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1450·15/32 = 679,7 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 679,7·18/24 = 509,8 rpm

Antwoord

n_out = 509,8 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,844 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 159,2 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Antwoord

τ_max = 159,2 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 4,119 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·50/5,796 × 10⁶ = 4,119 MPa

Antwoord

τ_max = 4,119 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −76,72 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, −40 − 80) = −153,4°

Hoek op het element

θ_p = −76,72°

Antwoord

θ_p = −76,72°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 4,438

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = −10 MPa, R = 40 MPa

σ₁ = 30 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 80 MPa

n = 355/80 = 4,438

Antwoord

n = 4,438

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 10882 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1273/117000 = 0,01088 = 10882 µε

Antwoord

ε = 10882 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 23,91 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·589049/752673 = 46957 N

Spanning

σ₂ = 46957/1963 = 23,91 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 23,91 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 225 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Antwoord

P_cr = 225 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 24,48 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Antwoord

σ_cr = 24,48 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,09798

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·10) = 2449 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 240/2449 = 0,09798

Antwoord

ζ = 0,09798

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,64 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(17000/20) = 29,15 rad/s

f_n = 29,15/(2π) = 4,64 Hz

Antwoord

f_n = 4,64 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design