Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 24 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 25 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 96%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 24N₂ = 25η = 96%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 125 mm en een schijf van 315 mm waarvan de hartafstand 1000 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 125 mmd₂ = 315 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 30° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 200 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 200 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 100 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 8 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 8 kgk = 40 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 40 kN/m en k₂ = 10 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 72,95 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Antwoord

T₁ = 72,95 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 169,1 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,095) = 5,451°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·5,451 = 169,1°

Antwoord

θ = 169,1°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 7,39 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·79522) = 0,129 rad

φ = 0,129·180/π = 7,39°

Antwoord

φ = 7,39°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 3,345 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·37,5/2,141 × 10⁶ = 3,345 MPa

Antwoord

τ_max = 3,345 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 92,14 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 15 − (−85)·0,5 − 40·(−0,866) = 92,14 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −62,14 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 92,14 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 130 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 90 + 0·0 + 40·1 = 130 MPa

Antwoord

σ_θ = 130 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2468 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 200000·500/4,053 × 10⁸ = 0,2468 mm

Antwoord

δ = 0,2468 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 823,7 kN

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0008333) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·1,373 × 10⁹ = 823726 N = 823,7 kN

Antwoord

P_max = 823,7 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,139 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Antwoord

P_cr = 3,139 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 197,4 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Antwoord

σ_cr = 197,4 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 9,003 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(40000/8) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,6²) = 9,003 Hz

Antwoord

f_d = 9,003 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 50 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 10 = 50 kN/m

Antwoord

k_eq = 50 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design