Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 4 gang(en) draait met 1440 rpm en drijft een wormwiel met 36 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 4N_w = 36n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 11 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (32 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (80 tanden). Tandwiel C (40 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (45 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 96%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 11 kWn_in = 1440 rpmA = 32B = 80C = 40D = 45η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 2 m draagt een wringend moment van 1000 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 1000 N·mL = 2 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 3000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 25 mm draagt een buigend moment van 100 N·m samen met een wringend moment van 1000 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 25 mmM = 100 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 55 kNdeel 1: Ø25 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm 2 perioden later een piek van 9,3 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 9,3 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 160 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1440·4/36 = 160 rpm

Antwoord

n_w = 160 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 189,1 N·m

Uitgaand toerental

n_out = 1440·(32/80)·(40/45) = 512 rpm

ω_out = 2π·512/60 = 53,62 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/53,62 = 189,1 N·m

Antwoord

T_out = 189,1 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 73,5 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·0,008727) = 2,865 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 73,5 mm

Antwoord

d = 73,5 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 21,64 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm

Antwoord

d = 21,64 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 53,85 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((90 − 50)/2)² + 50²) = 53,85 MPa

Antwoord

τ_max = 53,85 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 360,2 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65,19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325,9 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 32,59 MPa

R = √(32,59² + 325,9²) = 327,6 MPa

σ₁ = C + R = 360,2 MPa

σ₂ = C − R = −295 MPa

Antwoord

σ₁ = 360,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,0357 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·300/8,404 × 10⁸ = 0,0357 mm

Antwoord

δ = 0,0357 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 486,3 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 486,3 MPa

Antwoord

σ_max = 486,3 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 7,05 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/4200² = 7050 N = 7,05 kN

Antwoord

P_cr = 7,05 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 69,09 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Antwoord

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,02028

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(12/9,3) = 0,1274

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1274/√(39,48 + 0,01624) = 0,02028

Antwoord

ζ = 0,02028

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,829 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 50 + 5 = 55 kN/m

k_eq = 55·40/(55 + 40) = 23,16 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(23158/40) = 24,06 rad/s

f_n = 24,06/(2π) = 3,829 Hz

Antwoord

f_n = 3,829 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design