Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 56 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2 mm en een vertraging van 2,5 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 56 mmm = 2 mmi = 2,5

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (25 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 25B = 50C = 15D = 72

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 20 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −80 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Het element wordt 35° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 250 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 250 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 70 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 190 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 25 kgk = 150 kN/mc = 190 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 10 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·56/2 = 56

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 56/(1 + 2,5) = 16

Antwoord

N₁ = 16

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 156,3 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·25/50 = 750 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 750·15/72 = 156,3 rpm

Antwoord

n_out = 156,3 rpm

totale overbrengingsverhouding = 9,6 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,591 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(39000·613592) = 0,06268 rad

φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Antwoord

φ = 3,591°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 32,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·80·0,6836)) = 32,89 mm

d_i = 0,75·32,89 = 24,67 mm

Antwoord

d_o = 32,89 mm

Een massieve as zou d = 28,97 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −19,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −70 − (−10)·0,342 − (−50)·0,9397 = −19,6 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −120,4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −140 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −19,6 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 9,199 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 15 + 75·0,5 + 50·−0,866 = 9,199 MPa

Antwoord

σ_θ = 9,199 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4509 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·3063 = 2,772 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 250000·500/2,772 × 10⁸ = 0,4509 mm

Antwoord

δ = 0,4509 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 618,9 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 618,9 MPa

Antwoord

σ_max = 618,9 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 78,48 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Antwoord

P_cr = 78,48 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04906

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 190/3873 = 0,04906

Antwoord

ζ = 0,04906

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 1,786 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 5 + 12 = 17 kN/m

k_eq = 17·10/(17 + 10) = 6,296 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(6296/50) = 11,22 rad/s

f_n = 11,22/(2π) = 1,786 Hz

Antwoord

f_n = 1,786 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design