Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 7,5 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel aan met 16 tanden en een module van 3 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 7,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 3 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (24 tanden) op de ingaande as met 1500 rpm en drijft tandwiel B (30 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 480 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1500 rpmA = 24B = 30C = 18n_out = 480 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 2,5 m draagt een wringend moment van 100 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 100 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 1500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −10 MPa en σᵧ = 60 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 120 MPa bereikt?

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 15 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 15 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 5 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 2 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 60 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 5 kgk = 2 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 20 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 60 kN/m en k₂ = 30 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 2058 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·49,39/0,048 = 2058 N

Antwoord

F_t = 2058 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1500·24/30 = 1200 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 18·1200/480 = 45

Antwoord

N_D = 45

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,67 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(26000·0,01745) = 550921 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 48,67 mm

Antwoord

d = 48,67 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 21,96 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/869767 = 21,96 MPa

Antwoord

τ_max = 21,96 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 88,32 MPa

Benodigde straal

C = (−10 + 60)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 25 = 95 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Antwoord

τ_xy = 88,32 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 63,25 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 50 MPa, R = 22,36 MPa

σ₁ = 72,36 MPa, σ₂ = 27,64 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(72,36² − 72,36·27,64 + 27,64²) = 63,25 MPa

Antwoord

σ_vM = 63,25 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 30,02 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/9,995 × 10⁻⁶ = 30015 N = 30,02 kN

Antwoord

P = 30,02 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 22,47 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 50000·1,178 × 10⁶/1,335 × 10⁶ = 44118 N

Spanning

σ₂ = 44118/1963 = 22,47 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 22,47 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,071 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3000² = 3071 N = 3,071 kN

Antwoord

P_cr = 3,071 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 72,51 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Antwoord

d = 72,51 mm

Controle: de slankheid KL/r is 275,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,3

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·5) = 200 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 60/200 = 0,3

Antwoord

ζ = 0,3

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,072 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 60 + 30 = 90 kN/m

k_eq = 90·20/(90 + 20) = 16,36 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(16364/25) = 25,58 rad/s

f_n = 25,58/(2π) = 4,072 Hz

Antwoord

f_n = 4,072 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design