Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 5,5 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 40 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 45 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 5,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 45η = 95%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 80 mm met 1500 rpm met een schijf van 300 mm; de hartafstand is 800 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 800 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 80 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 50 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 1 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 15 kW over bij 1450 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 300 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 200 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 85 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 25 mm 2 perioden later een piek van 11,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 11,7 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 20 kN/m en k₂ = 5 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 58,47 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 54,71·45/40·0,95 = 58,47 N·m

Antwoord

T₂ = 58,47 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 2,571 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,866 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,7164 = 2,047, T₂ = 800/2,047 = 390,8 N

Vermogen

P = (800 − 390,8)·6,283 = 2,571 kW

Antwoord

P = 2,571 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 3,487 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·1200/(39000·613592) = 0,02006 rad

φ_BC = 400000·1000/(39000·251327) = 0,04081 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,02006 + 0,04081 = 0,06087 rad = 3,487°

Antwoord

φ_C = 3,487°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 49,31 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diameter op sterkte

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

d_τ = ∛(16·98786/(π·80)) = 18,46 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·98786/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 49,31 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(18,46, 49,31) = 49,31 mm

Antwoord

d = 49,31 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −64,9 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402, sin 2θ_s = −60/78,1 = −0,7682

2θ_s = atan2(−60, −50) = −129,8°

Hoek op het element

θ_s = −64,9°

controle: θ_s − θ_p = −64,9 − (−19,9) = −45°

Antwoord

θ_s = −64,9°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,664

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 15 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 105,1 MPa, σ₂ = −75,14 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 300/180,3 = 1,664

Antwoord

n = 1,664

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 26 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/1,154 × 10⁻⁵ = 25999 N = 26 kN

Antwoord

P = 26 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 24,85 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·989602/1,408 × 10⁶ = 70260 N

Spanning

σ₂ = 70260/2827 = 24,85 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 24,85 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 913,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1500² = 913852 N = 913,9 kN

Antwoord

P_cr = 913,9 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 69,76 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,76 mm

Antwoord

d = 69,76 mm

Controle: de slankheid KL/r is 172, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06031

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(25/11,7) = 0,3796

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3796/√(39,48 + 0,1441) = 0,06031

Antwoord

ζ = 0,06031

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 11,25 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 5 = 25 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(25000/5) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Antwoord

f_n = 11,25 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design