Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 3 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 16 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 32 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het koppel T1 op de motoras.
P = 3 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 32η = 95%
T1 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (50 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (60 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (30 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
nin = 960 rpmA = 50B = 60C = 24D = 30
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
In een punt is σₓ = 80 MPa en σᵧ = −50 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 95 MPa bereikt?
σx = 80 MPaσy = −50 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.
P = 90 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.
staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 150 kg aan een veer met een stijfheid van 25 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 150 kgk = 25 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 10 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 50 kN/m en k₂ = 10 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: T1 = 9,879 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Motorkoppel
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m
Antwoord
T1 = 9,879 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: nout = 640 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Eerste trap
nB = 960·50/60 = 800 rpm = nC
Tweede trap
nout = 800·24/30 = 640 rpm
Antwoord
nout = 640 rpm
totale overbrengingsverhouding = 1,5 : 1
3.Torsie van assen
Antwoord: φ = 0,8979 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Wringhoek
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·613592) = 0,01567 rad
φ = 0,01567·180/π = 0,8979°
Antwoord
φ = 0,8979°
4.Torsie van assen
Antwoord: d = 25,31 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Diameter uit de toelaatbare spanning
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm
Antwoord
d = 25,31 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τxy = 46,64 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Benodigde straal
C = (80 + (−50))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 95 − 15 = 80 MPa
Schuifspanning
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 65²) = 46,64 MPa
Antwoord
τxy = 46,64 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: σθ = 45,4 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Transformatieformule
σθ = 90 + −30·0,1736 + −40·0,9848 = 45,4 MPa
Antwoord
σθ = 45,4 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: δ = 6,121 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 286,5/117000 = 0,002449 = 2449 µε
Verlenging
δ = ε·L = 0,002449·2500 mm = 6,121 mm
Antwoord
δ = 6,121 mm
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: Pmax = 216,8 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Oppervlakken
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
Gecombineerde axiale stijfheid
ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N
Bepalende rek
ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (messing)
Grootste belasting
Pmax = 0,0006·3,613 × 10⁸ = 216770 N = 216,8 kN
Antwoord
Pmax = 216,8 kN
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 14,92 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
Kniklengte
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2500² = 14923 N = 14,92 kN
Antwoord
Pcr = 14,92 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: d = 151,8 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 151,8 mm
Antwoord
d = 151,8 mm
Controle: de slankheid KL/r is 263,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 1,644 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(25000/150) = 12,91 rad/s
fn = 12,91/(2π) = 2,055 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,6²) = 1,644 Hz
Antwoord
fd = 1,644 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: keq = 60 kN/m
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
keq = 50 + 10 = 60 kN/m
Antwoord
keq = 60 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design