Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 30 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 30η = 95%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 1450 rpm draait, tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (36 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1450 rpmA = 20B = 48C = 12D = 36

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 1 m draagt een wringend moment van 750 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 750 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 15 kW overbrengen bij 750 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 160 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 25 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 250 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 25 mmM = 200 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 70 kNdeel 1: Ø25 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 10 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 10 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm één periode later een piek van 4,6 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₁ = 4,6 mmn = 1

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 15 kN/m en k₂ = 20 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 133,1 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157,1 = 70,03 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 70,03·30/15·0,95 = 133,1 N·m

Antwoord

T₂ = 133,1 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 201,4 rpm

Eerste trap

n_B = 1450·20/48 = 604,2 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 604,2·12/36 = 201,4 rpm

Antwoord

n_out = 201,4 rpm

totale overbrengingsverhouding = 7,2 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 36,75 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1000/(80000·0,05236) = 179049 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 36,75 mm

Antwoord

d = 36,75 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 27,48 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0,9375)) = 27,48 mm

d_i = 0,5·27,48 = 13,74 mm

Antwoord

d_o = 27,48 mm

Een massieve as zou d = 26,89 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −42 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 10/95,52 = 0,1047, sin 2θ_s = −95/95,52 = −0,9945

2θ_s = atan2(−95, 10) = −83,99°

Hoek op het element

θ_s = −42°

controle: θ_s − θ_p = −42 − 3,005 = −45°

Antwoord

θ_s = −42°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 169,5 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 65,19 MPa

R = √(65,19² + 81,49²) = 104,4 MPa

σ₁ = C + R = 169,5 MPa

σ₂ = C − R = −39,16 MPa

Antwoord

σ₁ = 169,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,08741 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·300/3,432 × 10⁸ = 0,08741 mm

Antwoord

δ = 0,08741 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 348,2 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 348,2 MPa

Antwoord

σ_max = 348,2 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 86,82 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Antwoord

P_cr = 86,82 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 33,36 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,36 mm

Antwoord

d = 33,36 mm

Controle: de slankheid KL/r is 239,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1509

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/1)·ln(12/4,6) = 0,9589

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9589/√(39,48 + 0,9194) = 0,1509

Antwoord

ζ = 0,1509

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,708 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 20 = 35 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(35000/40) = 29,58 rad/s

f_n = 29,58/(2π) = 4,708 Hz

Antwoord

f_n = 4,708 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design