Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 150 mm met 1440 rpm drijft via een riem met 3 % slip een schijf van 450 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (36 tanden) op de ingaande as, die met 1440 rpm draait, tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (15 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1440 rpmA = 36B = 48C = 12D = 15

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 1,5 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 1 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 10 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa en σᵧ = −30 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 85 MPa bereikt?

σ_x = 30 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 25 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 500 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 25 mmM = 200 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 20 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 15 mm 3 perioden later een piek van 4,8 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 15 mmx₃ = 4,8 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 30 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 465,6 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1440·150/450 = 480 rpm

Met slip

n₂ = 480·0,97 = 465,6 rpm

Antwoord

n₂ = 465,6 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 864 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1440·36/48 = 1080 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1080·12/15 = 864 rpm

Antwoord

n_out = 864 rpm

totale overbrengingsverhouding = 1,667 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 63,66 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Antwoord

τ_max = 63,66 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 17,16 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·20/148384 = 17,16 MPa

Antwoord

τ_max = 17,16 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 79,53 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (30 + (−30))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 0 = 85 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Antwoord

τ_xy = 79,53 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 240,7 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 65,19 MPa

R = √(65,19² + 163²) = 175,5 MPa

σ₁ = C + R = 240,7 MPa

σ₂ = C − R = −110,3 MPa

Antwoord

σ₁ = 240,7 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1959 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·2199 = 3,267 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·800/3,267 × 10⁸ = 0,1959 mm

Antwoord

δ = 0,1959 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 10,61 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 20000·169646/452389 = 7500 N

Spanning

σ₂ = 7500/706,9 = 10,61 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 10,61 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 284,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284,2 kN

Antwoord

P_cr = 284,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 8,812 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/6,25 = 280

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Antwoord

σ_cr = 8,812 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06034

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(15/4,8) = 0,3798

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3798/√(39,48 + 0,1443) = 0,06034

Antwoord

ζ = 0,06034

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 20,13 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 50 = 80 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(80000/5) = 126,5 rad/s

f_n = 126,5/(2π) = 20,13 Hz

Antwoord

f_n = 20,13 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design