Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 36 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 72 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 36N₂ = 72η = 100%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 12 tanden en elk planeetwiel 12 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 3000 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 12N_p = 12n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 3 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 500 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 5 kW overbrengen bij 750 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 0 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 20 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 90 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 40 kgk = 20 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 50 kN/m en de onderste k₂ = 80 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 109,4 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100,5 = 109,4 N·m

Antwoord

T₁ = 109,4 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 750 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·12 = 36

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −36/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·12/48 = 750 rpm

Antwoord

n_c = 750 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,7 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·3000/(80000·0,05236) = 358099 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 43,7 mm

Antwoord

d = 43,7 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 20,09 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Antwoord

d = 20,09 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −74,52 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −50/58,31 = −0,8575, sin 2θ_s = −30/58,31 = −0,5145

2θ_s = atan2(−30, −50) = −149°

Hoek op het element

θ_s = −74,52°

controle: θ_s − θ_p = −74,52 − (−29,52) = −45°

Antwoord

θ_s = −74,52°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 10,47 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −35 + 35·0,1736 + 40·0,9848 = 10,47 MPa

Antwoord

σ_θ = 10,47 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3820 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0,00382 = 3820 µε

Antwoord

ε = 3820 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 14,79 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·706,9/400 = 176715 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·176715/1,014 × 10⁶ = 10452 N

Spanning

σ₂ = 10452/706,9 = 14,79 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 14,79 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 110,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Antwoord

P_cr = 110,2 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 5,483 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Antwoord

σ_cr = 5,483 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05031

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·40) = 1789 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 90/1789 = 0,05031

Antwoord

ζ = 0,05031

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,792 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/80 → k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30,77 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(30769/100) = 17,54 rad/s

f_n = 17,54/(2π) = 2,792 Hz

Antwoord

f_n = 2,792 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design