Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 20 tanden en een module van 2 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 3 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 2 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 7,5 kW met 1450 rpm drijft tandwiel A (40 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (80 tanden). Tandwiel C (32 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (45 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1450 rpmA = 40B = 80C = 32D = 45η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 250 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 160 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø40 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 20 kg aan een veer met een stijfheid van 80 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 20 kgk = 80 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 60 kN/m en de onderste k₂ = 20 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 1492 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 2·20 = 40 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·29,84/0,04 = 1492 N

Antwoord

F_t = 1492 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 133,4 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1450·(40/80)·(32/45) = 515,6 rpm

ω_out = 2π·515,6/60 = 53,99 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 7500·0,98² = 7203 W

T_out = P_out/ω_out = 7203/53,99 = 133,4 N·m

Antwoord

T_out = 133,4 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,8979 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Antwoord

φ = 0,8979°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 48,03 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·30/1,193 × 10⁶ = 48,03 MPa

Antwoord

τ_max = 48,03 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 55 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 60 MPa, R = √((−30)² + (−40)²) = 50 MPa

σ₁ = 110 MPa, σ₂ = 10 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 110, 10)/2 = 55 MPa

Antwoord

τ_abs = 55 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,387

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 85 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 175,1 MPa, σ₂ = −5,139 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 250/180,3 = 1,387

Antwoord

n = 1,387

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 11971 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1401/117000 = 0,01197 = 11971 µε

Antwoord

ε = 11971 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,832 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75,6·2000/100000 = 1,512 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·1000/70000 = 4,32 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,832 mm

Antwoord

δ = 5,832 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 8,478 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Antwoord

P_cr = 8,478 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,819 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,819 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 8,053 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(80000/20) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,6²) = 8,053 Hz

Antwoord

f_d = 8,053 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,757 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Antwoord

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design