Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 0,55 kW met 2900 rpm drijft een worm met 1 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 50 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 80%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 1N_w = 50n = 2900 rpmP = 0,55 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (24 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (40 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 24C = 24D = 40

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 75 mm en lengte 1 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 1,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1800 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 200 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 20 kg aan een veer met een stijfheid van 100 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 20 kgk = 100 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 12 kN/m en de onderste k₂ = 10 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 72,44 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 2900·1/50 = 58 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·58/60 = 6,074 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·550/6,074 = 72,44 N·m

Antwoord

T_w = 72,44 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 360 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·15/24 = 600 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 600·24/40 = 360 rpm

Antwoord

n_out = 360 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,667 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 1,386 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·1000/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,001238 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·251327) = 0,02296 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,001238 + 0,02296 = 0,02419 rad = 1,386°

Antwoord

φ_C = 1,386°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 18,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Antwoord

d = 18,9 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 50,25 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − 30)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Antwoord

τ_max = 50,25 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 212,4 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 40 MPa, R = 120,4 MPa

σ₁ = 160,4 MPa, σ₂ = −80,42 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(160,4² − 160,4·(−80,42) + (−80,42)²) = 212,4 MPa

Antwoord

σ_vM = 212,4 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 46,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/4,329 × 10⁻⁶ = 46200 N = 46,2 kN

Antwoord

P = 46,2 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 7,827 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·1,414 × 10⁶/1,916 × 10⁶ = 22131 N

Spanning

σ₂ = 22131/2827 = 7,827 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 7,827 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 8,422 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/10000² = 8422 N = 8,422 kN

Antwoord

P_cr = 8,422 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 2,142 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/12,5 = 960

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/960² = 2,142 MPa

Antwoord

σ_cr = 2,142 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 10,31 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(100000/20) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz

Antwoord

f_d = 10,31 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 5,455 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/10 → k_eq = 12·10/(12 + 10) = 5,455 kN/m

Antwoord

k_eq = 5,455 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design