Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 4 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel aan met 18 tanden en een module van 2 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 4 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 2 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (50 tanden) op de ingaande as, die met 2900 rpm draait, tandwiel B (80 tanden) aan. Tandwiel C (12 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 2900 rpmA = 50B = 80C = 12D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 150 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 150 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 30 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 80 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg aan een veer met een stijfheid van 50 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,35 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 25 kgk = 50 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 80 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 731,7 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 2·18 = 36 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·13,17/0,036 = 731,7 N

Antwoord

F_t = 731,7 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 362,5 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 2900·50/80 = 1813 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1813·12/60 = 362,5 rpm

Antwoord

n_out = 362,5 rpm

totale overbrengingsverhouding = 8 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 44,9 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0,9375)) = 44,9 mm

d_i = 0,5·44,9 = 22,45 mm

Antwoord

d_o = 44,9 mm

Een massieve as zou d = 43,95 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 138,3 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 3,183 × 10⁶·25/575243 = 138,3 MPa

Antwoord

τ_max = 138,3 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 116,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((120 − −80)/2)² + −60²) = 116,6 MPa

Antwoord

τ_max = 116,6 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 13,97 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 80 + −40·0,1736 + −60·0,9848 = 13,97 MPa

Antwoord

σ_θ = 13,97 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,08304 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 150000·300/5,419 × 10⁸ = 0,08304 mm

Antwoord

δ = 0,08304 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 149,2 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 149,2 MPa

Antwoord

σ_max = 149,2 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 7,91 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1400² = 7910 N = 7,91 kN

Antwoord

P_cr = 7,91 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 73,69 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 73,69 mm

Antwoord

d = 73,69 mm

Controle: de slankheid KL/r is 135,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 6,667 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(50000/25) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,35²) = 6,667 Hz

Antwoord

f_d = 6,667 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 105 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 25 = 105 kN/m

Antwoord

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design