Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 80 mm met 1440 rpm drijft via een riem met 3 % slip een schijf van 250 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 250 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (20 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (36 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 16B = 48C = 20D = 36

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 42 mm, lengte 2,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 1000 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 2,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 1000 N·mAB = 3 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 50 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 50 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 55 kNdeel 1: Ø30 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 110 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 110 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 50 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 25 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 180 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 50 kgk = 25 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 60 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 447 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1440·80/250 = 460,8 rpm

Met slip

n₂ = 460,8·0,97 = 447 rpm

Antwoord

n₂ = 447 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 277,8 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·16/48 = 500 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 500·20/36 = 277,8 rpm

Antwoord

n_out = 277,8 rpm

totale overbrengingsverhouding = 5,4 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,778 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Wringhoek

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2500/(80000·966855) = 0,04848 rad

φ = 0,04848·180/π = 2,778°

Antwoord

φ = 2,778°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 44,82 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 100 = 1100 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 1100 N·m

τ_max = 16·1,1 × 10⁶/(π·50³) = 44,82 MPa

Antwoord

τ_max = 44,82 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −79,1 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −70 − −20) = −158,2°

Hoek op het element

θ_p = −79,1°

Antwoord

θ_p = −79,1°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 126,5 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 100 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = 144,7 MPa, σ₂ = 55,28 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(144,7² − 144,7·55,28 + 55,28²) = 126,5 MPa

Antwoord

σ_vM = 126,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,0439 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 50000·800/9,111 × 10⁸ = 0,0439 mm

Antwoord

δ = 0,0439 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,311 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1500/117000 = 0,9976 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1500/200000 = 1,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,311 mm

Antwoord

δ = 2,311 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,888 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Antwoord

P_cr = 5,888 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 45,93 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 45,93 mm

Antwoord

d = 45,93 mm

Controle: de slankheid KL/r is 121,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,0805

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·50) = 2236 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 180/2236 = 0,0805

Antwoord

ζ = 0,0805

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 85 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 25 = 85 kN/m

Antwoord

k_eq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design