Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 50 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 80 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 50N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (24 tanden) op de ingaande as, die met 2900 rpm draait, tandwiel B (45 tanden) aan. Tandwiel C (32 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 45C = 32D = 48

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 1 m van A, en een wringend moment van 250 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,2 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 20° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1500 mm en wanddikte 10 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 55° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 45 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 55 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 55 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 12 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 20 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 50 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 12 kgk = 20 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 25 kN/m en de onderste k₂ = 100 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 114,4 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 72,95·80/50·0,98 = 114,4 N·m

Antwoord

T₂ = 114,4 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 1031 rpm

Eerste trap

n_B = 2900·24/45 = 1547 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1547·32/48 = 1031 rpm

Antwoord

n_out = 1031 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,813 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,478 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·79522) = 0,0258 rad

φ = 0,0258·180/π = 1,478°

Antwoord

φ = 1,478°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 7,015 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 250 = 500 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·251327) = 0,04591 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,07652 + 0,04591 = 0,1224 rad → |φ_C| = 7,015°

Antwoord

φ_C = 7,015°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 134 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 70 − (−50)·0,766 − 40·(−0,6428) = 134 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 5,986 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 134 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 59,8 MPa

Spanningen in de wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/10 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 45·sin²55° + 90·cos²55° = 59,8 MPa

Antwoord

σ_n = 59,8 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,73 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 573/100000 = 0,00573 = 5730 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,00573·1000 mm = 5,73 mm

Antwoord

δ = 5,73 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 24,32 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·622035/904779 = 68750 N

Spanning

σ₂ = 68750/2827 = 24,32 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 24,32 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 70,32 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Antwoord

P_cr = 70,32 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 37,02 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 37,02 mm

Antwoord

d = 37,02 mm

Controle: de slankheid KL/r is 113,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05103

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979,8 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 50/979,8 = 0,05103

Antwoord

ζ = 0,05103

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,183 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(20000/50) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Antwoord

f_n = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design