Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 150 mm met 720 rpm. De spanning is 1500 N in het trekkende deel en 600 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 11 kW met 1450 rpm drijft tandwiel A (45 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (72 tanden). Tandwiel C (18 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (36 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 11 kWn_in = 1450 rpmA = 45B = 72C = 18D = 36η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 10 kW over bij 1800 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 10 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 150 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 150 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 200 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,35 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 200 kgk = 40 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 25 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 5,089 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 5,655 m/s

Vermogen

P = (1500 − 600)·5,655 = 5089 W = 5,089 kW

Antwoord

P = 5,089 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 222,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1450·(45/72)·(18/36) = 453,1 rpm

ω_out = 2π·453,1/60 = 47,45 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 11000·0,98² = 10564 W

T_out = P_out/ω_out = 10564/47,45 = 222,6 N·m

Antwoord

T_out = 222,6 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 8,081 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·613592) = 0,141 rad

φ = 0,141·180/π = 8,081°

Antwoord

φ = 8,081°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 5,556 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 53052·20/190984 = 5,556 MPa

Antwoord

τ_max = 5,556 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 103,1 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((150 − −40)/2)² + −40²) = 103,1 MPa

Antwoord

τ_max = 103,1 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 78,1 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −50·−0,6428 + 60·0,766 = 78,1 MPa

Antwoord

τ_θ = 78,1 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 41,93 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/7,154 × 10⁻⁶ = 41935 N = 41,93 kN

Antwoord

P = 41,93 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 270,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0006667) = 0,0006667 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0006667·4,053 × 10⁸ = 270177 N = 270,2 kN

Antwoord

P_max = 270,2 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 324 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

Antwoord

P_cr = 324 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 104,5 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,5 mm

Antwoord

d = 104,5 mm

Controle: de slankheid KL/r is 114,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,108 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(40000/200) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,35²) = 2,108 Hz

Antwoord

f_d = 2,108 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,264 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 5 + 12 = 17 kN/m

k_eq = 17·25/(17 + 25) = 10,12 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(10119/50) = 14,23 rad/s

f_n = 14,23/(2π) = 2,264 Hz

Antwoord

f_n = 2,264 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design