Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 80 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 80 mmm = 2 mmi = 4

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 150 mm en een schijf van 250 mm waarvan de hartafstand 500 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 150 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 750 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 1000 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 40° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 150 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 150 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 110 kNdeel 1: Ø40 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 50 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 10 mm 2 perioden later een piek van 6,9 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 6,9 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 20 kN/m en k₂ = 50 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/2 = 80

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

Antwoord

N₁ = 16

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 168,5 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,1) = 5,739°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°

Antwoord

θ = 168,5°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,241 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·38350) = 0,03911 rad

φ = 0,03911·180/π = 2,241°

Antwoord

φ = 2,241°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 41,26 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 750 = 1750 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 1750 N·m

τ_max = 16·1,75 × 10⁶/(π·60³) = 41,26 MPa

Antwoord

τ_max = 41,26 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 14,5 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 40 − (−80)·0,1736 − 40·0,9848 = 14,5 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 65,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 14,5 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 57,1 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −65·−0,6428 + 20·0,766 = 57,1 MPa

Antwoord

τ_θ = 57,1 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,476 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 150000·800/2,521 × 10⁸ = 0,476 mm

Antwoord

δ = 0,476 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 9,082 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1000/100000 = 0,8754 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1500/100000 = 8,206 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,082 mm

Antwoord

δ = 9,082 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 6,867 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Antwoord

P_cr = 6,867 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 65,32 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 65,32 mm

Antwoord

d = 65,32 mm

Controle: de slankheid KL/r is 257,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,02952

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(10/6,9) = 0,1855

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1855/√(39,48 + 0,03442) = 0,02952

Antwoord

ζ = 0,02952

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 10,21 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 20 + 50 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41,18 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(41176/10) = 64,17 rad/s

f_n = 64,17/(2π) = 10,21 Hz

Antwoord

f_n = 10,21 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design