Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 0,55 kW met 960 rpm drijft een worm met 4 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 60 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 80%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 4N_w = 60n = 960 rpmP = 0,55 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (32 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (48 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 32B = 72C = 48D = 80

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 30 mm en lengte 2,5 m; deel BC heeft diameter 25 mm en lengte 2,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 10 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 50 mm 2 perioden later een piek van 26,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 26,7 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 80 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 65,65 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 960·4/60 = 64 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·550/6,702 = 65,65 N·m

Antwoord

T_w = 65,65 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 256 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·32/72 = 426,7 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 426,7·48/80 = 256 rpm

Antwoord

n_out = 256 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3,75 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 130,4 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Antwoord

τ_max = 130,4 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 5,576 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·37,5/2,141 × 10⁶ = 5,576 MPa

Antwoord

τ_max = 5,576 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 65 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((20 − 70)/2)² + 60²) = 65 MPa

Antwoord

τ_max = 65 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 110,8 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 30 + 90·0,6428 + 30·0,766 = 110,8 MPa

Antwoord

σ_θ = 110,8 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1203 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Antwoord

ε = 1203 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 295,3 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,001, 0,001) = 0,001 (aluminium)

Grootste belasting

P_max = 0,001·2,953 × 10⁸ = 295310 N = 295,3 kN

Antwoord

P_max = 295,3 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 37,85 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37,85 kN

Antwoord

P_cr = 37,85 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 1,079 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Antwoord

σ_cr = 1,079 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04986

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(50/26,7) = 0,3137

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3137/√(39,48 + 0,09839) = 0,04986

Antwoord

ζ = 0,04986

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 9,073 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 50 = 130 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(130000/40) = 57,01 rad/s

f_n = 57,01/(2π) = 9,073 Hz

Antwoord

f_n = 9,073 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design