Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 1,5 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel aan met 25 tanden en een module van 2 mm. Vind de tangentiële kracht Ft op de tanden van het rondsel.
P = 1,5 kWn = 2900 rpmN1 = 25m = 2 mm
Ft = N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
Een motor van 4 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (12 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (48 tanden). Tandwiel C (24 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (36 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel Tout.
P = 4 kWnin = 1440 rpmA = 12B = 48C = 24D = 36ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Torsie van assenGemiddeld
Een holle as moet een wringend moment van 200 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.
T = 200 N·mdi/do = 0,75τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Een holle as brengt 10 kW over bij 1000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.
P = 10 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 20 mm
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
In een punt is σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Vind de hoek θs, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
σx = −40 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1500 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 3 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 20° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τn| die langs de lasnaad werkt.
D = 1500 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 20°
|τn| = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).
P = 100 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 20 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 8 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 450 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
m = 25 kgk = 8 kN/mc = 450 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 100 kN/m en de onderste k₂ = 20 kN/m. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: Ft = 197,6 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Koppel op het rondsel
ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 1500/303,7 = 4,939 N·m
Steekcirkeldiameter
d = m·N = 2·25 = 50 mm
Tangentiële kracht
Ft = 2T/d = 2·4,939/0,05 = 197,6 N
Antwoord
Ft = 197,6 N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: Tout = 152,9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Uitgaand toerental
nout = 1440·(12/48)·(24/36) = 240 rpm
ωout = 2π·240/60 = 25,13 rad/s
Uitgaand vermogen en koppel
Pout = 4000·0,98² = 3842 W
Tout = Pout/ωout = 3842/25,13 = 152,9 N·m
Antwoord
Tout = 152,9 N·m
3.Torsie van assen
Antwoord: do = 26,51 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Buitendiameter uit de toelaatbare spanning
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0,6836)) = 26,51 mm
di = 0,75·26,51 = 19,88 mm
Antwoord
do = 26,51 mm
Een massieve as zou d = 23,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.
4.Torsie van assen
Antwoord: τmax = 8,106 MPa
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m
Polair traagheidsmoment
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
Maximale schuifspanning
τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/235619 = 8,106 MPa
Antwoord
τmax = 8,106 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: θs = 8,35 °
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoek op de cirkel
Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.
cos 2θs = 50/52,2 = 0,9578, sin 2θs = −(−15)/52,2 = 0,2873
2θs = atan2(15, 50) = 16,7°
Hoek op het element
θs = 8,35°
controle: θs − θp = 8,35 − 53,35 = −45°
Antwoord
θs = 8,35°
Positieve hoeken zijn tegen de klok in.
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: |τn| = 30,13 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.
Spanningen in de wand
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 3·750/12 = 187,5 MPa
σa = pr/(2t) = 93,75 MPa
Transformeer naar de naad
Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.
|τn| = (187,5 − 93,75)·sin 20°·cos 20° = 30,13 MPa
Antwoord
|τn| = 30,13 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: ε = 4547 µε
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε
Antwoord
ε = 4547 µε
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 8,839 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 20000·687223/791943 = 17355 N
Spanning
σ2 = 17355/1963 = 8,839 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 8,839 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 2,879 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
Kniklengte
KL = 1·5000 = 5000 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/5000² = 2879 N = 2,879 kN
Antwoord
Pcr = 2,879 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: σcr = 15,67 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsstraal en slankheid
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210
Kritieke spanning
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa
Antwoord
σcr = 15,67 MPa
11.Mechanische trillingen
Antwoord: ζ = 0,5031
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritische demping
cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894,4 N·s/m
Dempingsverhouding
ζ = c/cc = 450/894,4 = 0,5031
Antwoord
ζ = 0,5031
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
12.Mechanische trillingen
Antwoord: keq = 16,67 kN/m
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/100 + 1/20 → keq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m
Antwoord
keq = 16,67 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design