Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 80 mm met 2880 rpm. De spanning is 400 N in het trekkende deel en 160 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 160 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (24 tanden) op de ingaande as, die met 1450 rpm draait, tandwiel B (40 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1450 rpmA = 24B = 40C = 18D = 80

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 20 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 1,2 m van A en 2,5 m van B. Vind het reactiemoment T_A bij wand A.

d = 20 mmT₀ = 200 N·ma = 1,2 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Het element wordt 40° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 40 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 40 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 100 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 25 kgk = 40 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 30 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 100 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 2,895 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 12,06 m/s

Vermogen

P = (400 − 160)·12,06 = 2895 W = 2,895 kW

Antwoord

P = 2,895 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 195,8 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1450·24/40 = 870 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 870·18/80 = 195,8 rpm

Antwoord

n_out = 195,8 rpm

totale overbrengingsverhouding = 7,407 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,4789 °

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·613592) = 0,008358 rad

φ = 0,008358·180/π = 0,4789°

Antwoord

φ = 0,4789°

4.Torsie van assen

Antwoord: T_A = 135,1 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·2,5/3,7 = 135,1 N·m

T_B = 200·1,2/3,7 = 64,86 N·m

Antwoord

T_A = 135,1 N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 63,22 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 5 − 5·0,1736 − (−60)·0,9848 = 63,22 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −53,22 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 63,22 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −89,82 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −65 + −15·0,5 + −20·0,866 = −89,82 MPa

Antwoord

σ_θ = −89,82 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 6631 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/100000 = 0,006631 = 6631 µε

Antwoord

ε = 6631 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 353,7 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 353,7 MPa

Antwoord

σ_max = 353,7 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,205 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Antwoord

P_cr = 4,205 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 8,567 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Antwoord

σ_cr = 8,567 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,05

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·25) = 2000 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 100/2000 = 0,05

Antwoord

ζ = 0,05

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 80 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 50 = 80 kN/m

Antwoord

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design