Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 240 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 4 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 240 mmm = 4 mmi = 4

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (40 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 20B = 40C = 24D = 48

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Het element wordt 45° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 90 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 90 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 25 mm 5 perioden later een piek van 5,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 5,2 mmn = 5

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 100 kN/m en de onderste k₂ = 10 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 96

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

N₂ = 4·24 = 96

Antwoord

N₂ = 96

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 240 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·20/40 = 480 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 480·24/48 = 240 rpm

Antwoord

n_out = 240 rpm

totale overbrengingsverhouding = 4 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,956 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·79522) = 0,05159 rad

φ = 0,05159·180/π = 2,956°

Antwoord

φ = 2,956°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 51,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1910 N·m = 1,91 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·80·0,8704)) = 51,89 mm

d_i = 0,6·51,89 = 31,13 mm

Antwoord

d_o = 51,89 mm

Een massieve as zou d = 49,54 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −20 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −30 − 50·0 − 10·(−1) = −20 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −40 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −20 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −22,56 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 40 + −20·0,1736 + −60·0,9848 = −22,56 MPa

Antwoord

σ_θ = −22,56 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 99,76 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/5,012 × 10⁻⁶ = 99758 N = 99,76 kN

Antwoord

P = 99,76 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 5,808 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·395841/723090 = 16423 N

Spanning

σ₂ = 16423/2827 = 5,808 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 5,808 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 8,636 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2500² = 8636 N = 8,636 kN

Antwoord

P_cr = 8,636 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 135,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 135,8 mm

Antwoord

d = 135,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 235,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04992

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/5)·ln(25/5,2) = 0,314

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,314/√(39,48 + 0,09862) = 0,04992

Antwoord

ζ = 0,04992

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 6,786 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/10 → k_eq = 100·10/(100 + 10) = 9,091 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(9091/5) = 42,64 rad/s

f_n = 42,64/(2π) = 6,786 Hz

Antwoord

f_n = 6,786 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design