Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 2 gang(en) draait met 1440 rpm en drijft een wormwiel met 80 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 2N_w = 80n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 15 tanden en elk planeetwiel 18 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1200 rpm. Vind het toerental n_r van het ringwiel (grootte).

N_s = 15N_p = 18n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 45 mm, lengte 3 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 1000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 40 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 40 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 30 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 36 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1440·2/80 = 36 rpm

Antwoord

n_w = 36 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_r = 352,9 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·18 = 51

Vergelijking van Willis met vaste planeetdrager

Met n_c = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·15/51 = −352,9 rpm

|n_r| = 352,9 rpm

Antwoord

n_r = 352,9 rpm

Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,027 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Wringhoek

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(39000·869767) = 0,03538 rad

φ = 0,03538·180/π = 2,027°

Antwoord

φ = 2,027°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 14,81 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·30/966855 = 14,81 MPa

Antwoord

τ_max = 14,81 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 50 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 60)/2)² + 30²) = 50 MPa

Antwoord

τ_max = 50 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 102,1 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 55 + 25·0,5 + −40·−0,866 = 102,1 MPa

Antwoord

σ_θ = 102,1 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3265 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 382/117000 = 0,003265 = 3265 µε

Antwoord

ε = 3265 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 498,7 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·9,975 × 10⁸ = 498728 N = 498,7 kN

Antwoord

P_max = 498,7 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 14,06 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14,06 kN

Antwoord

P_cr = 14,06 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 8,933 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(150000/40) = 61,24 rad/s

f_n = 61,24/(2π) = 9,746 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,746·√(1 − 0,4²) = 8,933 Hz

Antwoord

f_d = 8,933 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 80 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 50 = 80 kN/m

Antwoord

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design