Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 100 mm met 1450 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 450 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 1450 rpm draait, tandwiel B (60 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (36 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1450 rpmA = 45B = 60C = 15D = 36

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 400 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 400 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 15 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 400 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 40 mmM = 200 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 15 kNdeel 1: Ø35 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 60 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm 2 perioden later een piek van 5,6 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 5,6 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 315,8 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1450·100/450 = 322,2 rpm

Met slip

n₂ = 322,2·0,98 = 315,8 rpm

Antwoord

n₂ = 315,8 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 453,1 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1450·45/60 = 1088 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1088·15/36 = 453,1 rpm

Antwoord

n_out = 453,1 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3,2 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,6 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·500/(39000·0,05236) = 97942 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 31,6 mm

Antwoord

d = 31,6 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 34,57 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Diameter op sterkte

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34,57 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(21,35, 34,57) = 34,57 mm

Antwoord

d = 34,57 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −22,5 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 120 − 80) = −45°

Hoek op het element

θ_p = −22,5°

Antwoord

θ_p = −22,5°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 51,5 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 31,83²) = 35,59 MPa

σ₁ = C + R = 51,5 MPa

σ₂ = C − R = −19,67 MPa

Antwoord

σ₁ = 51,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,912 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/117000 = 0,004912 = 4912 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,004912·1000 mm = 4,912 mm

Antwoord

δ = 4,912 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 74,6 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 74,6 MPa

Antwoord

σ_max = 74,6 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 9,462 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Antwoord

P_cr = 9,462 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 94,36 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 94,36 mm

Antwoord

d = 94,36 mm

Controle: de slankheid KL/r is 339,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06054

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(12/5,6) = 0,3811

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3811/√(39,48 + 0,1452) = 0,06054

Antwoord

ζ = 0,06054

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,497 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 5 + 12 = 17 kN/m

k_eq = 17·40/(17 + 40) = 11,93 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(11930/10) = 34,54 rad/s

f_n = 34,54/(2π) = 5,497 Hz

Antwoord

f_n = 5,497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design