Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 2,2 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 32 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 2,2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 12N₂ = 32η = 95%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 150 mm en een schijf van 450 mm waarvan de hartafstand 1000 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 150 mmd₂ = 450 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 20 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 0,8 m van A en 1 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 20 mmT₀ = 200 N·ma = 0,8 mb = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 110 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 35 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 5 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 25 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 110 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 5 kgk = 25 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 12 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 7,244 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Antwoord

T₁ = 7,244 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 162,7 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,15) = 8,627°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·8,627 = 162,7°

Antwoord

θ = 162,7°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 4,274 °

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Antwoord

φ = 4,274°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 8,314 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1/1,8 = 111,1 N·m

T_B = 200·0,8/1,8 = 88,89 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 111111·800/(39000·15708) = 0,1451 rad = 8,314°

Antwoord

φ_C = 8,314°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 19,33 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 80 − −20) = 38,66°

Hoek op het element

θ_p = 19,33°

Antwoord

θ_p = 19,33°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 45,48 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + 90·0,1736 + 10·0,9848 = 45,48 MPa

Antwoord

σ_θ = 45,48 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,611 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/200000 = 0,0008704 = 870,4 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0008704·3000 mm = 2,611 mm

Antwoord

δ = 2,611 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 12,24 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 50000·942478/1,361 × 10⁶ = 34615 N

Spanning

σ₂ = 34615/2827 = 12,24 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 12,24 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,968 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/4200² = 5968 N = 5,968 kN

Antwoord

P_cr = 5,968 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 2,429 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Antwoord

σ_cr = 2,429 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1556

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·5) = 707,1 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 110/707,1 = 0,1556

Antwoord

ζ = 0,1556

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 8,108 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Antwoord

k_eq = 8,108 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design