Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 2,2 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 18 tanden en een module van 4 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 2,2 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 4 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 1440 rpm draait, tandwiel B (32 tanden) aan. Tandwiel C (50 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1440 rpmA = 20B = 32C = 50D = 72

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 20 mm getordeerd door een wringend moment van 30 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 400 mm verdraaien 1,68° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 30 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,68°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 20 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Het element wordt 40° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 105 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 15 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,45 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 25 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 30 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 607,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 4·18 = 72 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·21,88/0,072 = 607,9 N

Antwoord

F_t = 607,9 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 625 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1440·20/32 = 900 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 900·50/72 = 625 rpm

Antwoord

n_out = 625 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,304 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 26,05 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,68·π/180 = 0,02932 rad

Glijdingsmodulus

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(15708·0,02932) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Antwoord

G = 26,05 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 4,937 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/2,902 × 10⁶ = 4,937 MPa

Antwoord

τ_max = 4,937 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 23,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 30 − (−20)·0,1736 − 10·0,9848 = 23,62 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 36,38 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 23,62 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −3,056 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −30 + 10·0,766 + 30·0,6428 = −3,056 MPa

Antwoord

σ_θ = −3,056 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,7427 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/100000 = 0,001485 = 1485 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001485·500 mm = 0,7427 mm

Antwoord

δ = 0,7427 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4941 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11,94·1500/117000 = 0,153 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·500/70000 = 0,341 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4941 mm

Antwoord

δ = 0,4941 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 28,56 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28,56 kN

Antwoord

P_cr = 28,56 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 48,34 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 48,34 mm

Antwoord

d = 48,34 mm

Controle: de slankheid KL/r is 115,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 4,02 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(20000/25) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,45²) = 4,02 Hz

Antwoord

f_d = 4,02 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,628 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/25 → k_eq = 30·25/(30 + 25) = 13,64 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(13636/50) = 16,51 rad/s

f_n = 16,51/(2π) = 2,628 Hz

Antwoord

f_n = 2,628 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design