Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 125 mm met 2880 rpm drijft via een riem met 1 % slip een schijf van 315 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 200 mm met 1500 rpm met een schijf van 450 mm; de hartafstand is 800 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 800 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 48 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 2000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 2000 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 750 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 100 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,8 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 100 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 145 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 145 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm 4 perioden later een piek van 1 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 1 mmn = 4

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 30 kN/m en de onderste k₂ = 100 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 1131 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

2880·125/315 = 1143 rpm

Met slip

n₂ = 1143·0,99 = 1131 rpm

Antwoord

n₂ = 1131 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 6,369 kW

Omspanningshoek

θ = 2,828 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,707 = 2,028, T₂ = 800/2,028 = 394,5 N

Vermogen

P = (800 − 394,5)·15,71 = 6,369 kW

Antwoord

P = 6,369 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,4197 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·3,5 × 10⁶) = 0,007326 rad

φ = 0,007326·180/π = 0,4197°

Antwoord

φ = 0,4197°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 15,33 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 750 = −650 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 650 N·m

τ_max = 16·650000/(π·60³) = 15,33 MPa

Antwoord

τ_max = 15,33 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 42,72 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((90 − 120)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Antwoord

τ_max = 42,72 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 30 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−30·1 + −60·0 = 30 MPa

Antwoord

τ_θ = 30 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 63,85 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,4/6,265 × 10⁻⁶ = 63845 N = 63,85 kN

Antwoord

P = 63,85 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 331,8 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5027 = 4,147 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0008·4,147 × 10⁸ = 331752 N = 331,8 kN

Antwoord

P_max = 331,8 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 35,98 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1000² = 35983 N = 35,98 kN

Antwoord

P_cr = 35,98 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 94,62 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 94,62 mm

Antwoord

d = 94,62 mm

Controle: de slankheid KL/r is 105,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,09839

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/4)·ln(12/1) = 0,6212

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6212/√(39,48 + 0,3859) = 0,09839

Antwoord

ζ = 0,09839

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 7,646 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/100 → k_eq = 30·100/(30 + 100) = 23,08 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(23077/10) = 48,04 rad/s

f_n = 48,04/(2π) = 7,646 Hz

Antwoord

f_n = 7,646 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design