Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 3 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 32 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 50 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 96%. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
P = 3 kWn1 = 2900 rpmN1 = 32N2 = 50η = 96%
T2 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (30 tanden) op de ingaande as, die met 2900 rpm draait, tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
nin = 2900 rpmA = 30B = 50C = 15D = 72
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
Een holle as moet een wringend moment van 100 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.
T = 100 N·mdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Een holle as moet 50 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.
P = 50 kWN = 500 rpmdi/do = 0,8τallow = 60 MPa
do = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Vind de hoek θs, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1200 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 30° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τn| die langs de lasnaad werkt.
D = 1200 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 30°
|τn| = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).
P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 5 kg aan een veer met een stijfheid van 2 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 5 kgk = 2 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 50 kN/m en de onderste k₂ = 15 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: T2 = 14,82 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Motorkoppel
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m
Uitgaand koppel
T2 = 9,879·50/32·0,96 = 14,82 N·m
Antwoord
T2 = 14,82 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: nout = 362,5 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Eerste trap
nB = 2900·30/50 = 1740 rpm = nC
Tweede trap
nout = 1740·15/72 = 362,5 rpm
Antwoord
nout = 362,5 rpm
totale overbrengingsverhouding = 8 : 1
3.Torsie van assen
Antwoord: do = 25,59 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Buitendiameter uit de toelaatbare spanning
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·40·0,7599)) = 25,59 mm
di = 0,7·25,59 = 17,91 mm
Antwoord
do = 25,59 mm
Een massieve as zou d = 23,35 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.
4.Torsie van assen
Antwoord: do = 51,59 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m
Buitendiameter uit de toelaatbare spanning
T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0,5904)) = 51,59 mm
di = 0,8·51,59 = 41,27 mm
Antwoord
do = 51,59 mm
Een massieve as zou d = 43,28 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: θs = −3,563 °
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoek op de cirkel
Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.
cos 2θs = 40/40,31 = 0,9923, sin 2θs = −5/40,31 = −0,124
2θs = atan2(−5, 40) = −7,125°
Hoek op het element
θs = −3,563°
controle: θs − θp = −3,563 − 41,44 = −45°
Antwoord
θs = −3,563°
Positieve hoeken zijn tegen de klok in.
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: |τn| = 19,49 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Dunwandige cilinder: tangentiële spanning σh = pr/t en axiale spanning σa = pr/(2t); dit zijn de hoofdspanningen in de wand.
Spanningen in de wand
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1,2·600/8 = 90 MPa
σa = pr/(2t) = 45 MPa
Transformeer naar de naad
Neem x langs de as (σa) en y in omtreksrichting (σh). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.
|τn| = (90 − 45)·sin 30°·cos 30° = 19,49 MPa
Antwoord
|τn| = 19,49 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: ε = 5668 µε
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 663,1/117000 = 0,005668 = 5668 µε
Antwoord
ε = 5668 µε
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 8,41 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 40000·589049/1,427 × 10⁶ = 16514 N
Spanning
σ2 = 16514/1963 = 8,41 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 8,41 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 11,7 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
Kniklengte
KL = 1·3000 = 3000 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN
Antwoord
Pcr = 11,7 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: σcr = 7,896 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Traagheidsstraal en slankheid
A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/5 = 500
Kritieke spanning
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa
Antwoord
σcr = 7,896 MPa
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 3,036 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(2000/5) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,3²) = 3,036 Hz
Antwoord
fd = 3,036 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 2,418 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/50 + 1/15 → keq = 50·15/(50 + 15) = 11,54 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(11538/50) = 15,19 rad/s
fn = 15,19/(2π) = 2,418 Hz
Antwoord
fn = 2,418 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design