Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 1,1 kW met 1450 rpm drijft een worm met 1 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 36 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 70%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 1N_w = 36n = 1450 rpmP = 1,1 kWη = 70%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 150 mm met 1450 rpm met een schijf van 400 mm; de hartafstand is 600 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,25 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 1200 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1200 N

P = kW

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 400 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 400 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1500 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 100 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 3 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Het element wordt 20° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 25 mm 5 perioden later een piek van 7,1 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 7,1 mmn = 5

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 100 kN/m en de onderste k₂ = 40 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 182,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1450·1/36 = 40,28 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·40,28/60 = 4,218 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·1100/4,218 = 182,6 N·m

Antwoord

T_w = 182,6 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 6,746 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Omspanningshoek

θ = 2,722 rad

Spanning in het slappe deel

e^μθ = e^0,6805 = 1,975, T₂ = 1200/1,975 = 607,7 N

Vermogen

P = (1200 − 607,7)·11,39 = 6,746 kW

Antwoord

P = 6,746 kW

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 26,41 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·500/(80000·0,05236) = 47746 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 26,41 mm

Antwoord

d = 26,41 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 37,73 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 1500 = 1600 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 1600 N·m

τ_max = 16·1,6 × 10⁶/(π·60³) = 37,73 MPa

Antwoord

τ_max = 37,73 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 95,7 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 15 − (−55)·0,766 − 60·(−0,6428) = 95,7 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −65,7 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 95,7 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 144,5 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 75 + 35·0,5 + −60·−0,866 = 144,5 MPa

Antwoord

σ_θ = 144,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1451 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/117000 = 0,001451 = 1451 µε

Antwoord

ε = 1451 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 57,87 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·418879/575959 = 72727 N

Spanning

σ₂ = 72727/1257 = 57,87 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 57,87 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 127,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/750² = 127939 N = 127,9 kN

Antwoord

P_cr = 127,9 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 47,98 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Antwoord

σ_cr = 47,98 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04004

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/5)·ln(25/7,1) = 0,2518

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2518/√(39,48 + 0,06338) = 0,04004

Antwoord

ζ = 0,04004

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 8,507 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28,57 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(28571/10) = 53,45 rad/s

f_n = 53,45/(2π) = 8,507 Hz

Antwoord

f_n = 8,507 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design