Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een motor van 2,2 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 20 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 96%. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
P = 2,2 kWn1 = 960 rpmN1 = 20N2 = 60η = 96%
T2 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (36 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.
nin = 3000 rpmA = 45B = 72C = 36D = 60
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.
T = 500 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Een massieve as van staal brengt 10 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.
σx = 80 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 355 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).
σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPaσY = 355 MPa
n =
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.
P = 100 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.
segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.
L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 150 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,5 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 50 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 30 kN/m en k₂ = 40 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: T2 = 63,03 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Motorkoppel
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m
Uitgaand koppel
T2 = 21,88·60/20·0,96 = 63,03 N·m
Antwoord
T2 = 63,03 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: nout = 1125 rpm
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Eerste trap
nB = 3000·45/72 = 1875 rpm = nC
Tweede trap
nout = 1875·36/60 = 1125 rpm
Antwoord
nout = 1125 rpm
totale overbrengingsverhouding = 2,667 : 1
3.Torsie van assen
Antwoord: d = 36,98 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Benodigd polair traagheidsmoment
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·500/(39000·0,03491) = 183640 mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 36,98 mm
Antwoord
d = 36,98 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
4.Torsie van assen
Antwoord: d = 31,04 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m
Diameter op sterkte
T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm
Diameter op stijfheid
θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·63662/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 31,04 mm
Maatgevende diameter
Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.
d = max(15,94, 31,04) = 31,04 mm
Antwoord
d = 31,04 mm
Hier is de stijfheid maatgevend.
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τmax = 58,31 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Straal van de cirkel van Mohr
τmax = R = √(((80 − −20)/2)² + −30²) = 58,31 MPa
Antwoord
τmax = 58,31 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: n = 2,259
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σY bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σY/2 bereikt.
Hoofdspanningen
C = 80 MPa, R = 78,1 MPa
σ1 = 158,1 MPa, σ2 = 1,898 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(158,1² − 158,1·1,898 + 1,898²) = 157,2 MPa
n = 355/157,2 = 2,259
Antwoord
n = 2,259
n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: δ = 7,958 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 318,3/100000 = 0,003183 = 3183 µε
Verlenging
δ = ε·L = 0,003183·2500 mm = 7,958 mm
Antwoord
δ = 7,958 mm
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: σ2 = 13,98 MPa
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Stijfheden
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm
Aandeel van segment 2
F2 = 40000·164934/667588 = 9882 N
Spanning
σ2 = 9882/706,9 = 13,98 MPa (druk)
Antwoord
σ2 = 13,98 MPa
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 3,052 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Kniklengte
KL = 1·3000 = 3000 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN
Antwoord
Pcr = 3,052 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: σcr = 64,45 MPa
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Traagheidsstraal en slankheid
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175
Kritieke spanning
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa
Antwoord
σcr = 64,45 MPa
11.Mechanische trillingen
Antwoord: fd = 1,592 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ongedempte eigenfrequentie
ωn = √(20000/150) = 11,55 rad/s
fn = 11,55/(2π) = 1,838 Hz
Gedempte eigenfrequentie
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,5²) = 1,592 Hz
Antwoord
fd = 1,592 Hz
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 3,844 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
k12 = 30 + 40 = 70 kN/m
keq = 70·50/(70 + 50) = 29,17 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(29167/50) = 24,15 rad/s
fn = 24,15/(2π) = 3,844 Hz
Antwoord
fn = 3,844 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design