Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 150 mm met 1440 rpm drijft via een riem met 4 % slip een schijf van 300 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (45 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (80 tanden) aan. Tandwiel C (16 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (25 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 80C = 16D = 25

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 1 m draagt een wringend moment van 1500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 1500 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 40 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 100 N·m werkt in C, op 0,5 m van A en 2,5 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 40 mmT₀ = 100 N·ma = 0,5 mb = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Het element wordt 15° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 50 mm draagt een buigend moment van 500 N·m samen met een wringend moment van 1500 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 50 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 10 kNdeel 1: Ø25 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø16 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 2 perioden later een piek van 6,6 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 6,6 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 25 kN/m en de onderste k₂ = 50 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 691,2 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1440·150/300 = 720 rpm

Met slip

n₂ = 720·0,96 = 691,2 rpm

Antwoord

n₂ = 691,2 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 540 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·45/80 = 843,8 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 843,8·16/25 = 540 rpm

Antwoord

n_out = 540 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,778 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 68,4 mm

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1000/(80000·0,008727) = 2,149 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 68,4 mm

Antwoord

d = 68,4 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,2436 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2,5/3 = 83,33 N·m

T_B = 100·0,5/3 = 16,67 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 83333·500/(39000·251327) = 0,004251 rad = 0,2436°

Antwoord

φ_C = 0,2436°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 140 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 120 − 0·0,866 − (−40)·0,5 = 140 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 100 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 240 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 140 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 84,79 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·50³) = 40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 20,37 MPa

R = √(20,37² + 61,12²) = 64,42 MPa

σ₁ = C + R = 84,79 MPa

σ₂ = C − R = −44,05 MPa

Antwoord

σ₁ = 84,79 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 18,56 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/1,078 × 10⁻⁵ = 18558 N = 18,56 kN

Antwoord

P = 18,56 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,198 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·2000/117000 = 0,3482 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49,74·2000/117000 = 0,8502 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,198 mm

Antwoord

δ = 1,198 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 12,44 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2500² = 12436 N = 12,44 kN

Antwoord

P_cr = 12,44 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 19,28 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Antwoord

σ_cr = 19,28 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1196

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(30/6,6) = 0,7571

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Antwoord

ζ = 0,1196

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 9,189 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16,67 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(16667/5) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Antwoord

f_n = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design