Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 125 mm met 960 rpm. De spanning is 1000 N in het trekkende deel en 500 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 500 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 24 tanden en elk planeetwiel 20 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1500 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 24N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 38 mm, lengte 3 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 750 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 750 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 300 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 20 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 30 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 30 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 5 kg aan een veer met een stijfheid van 12 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 5 kgk = 12 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 10 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,142 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 6,283 m/s

Vermogen

P = (1000 − 500)·6,283 = 3142 W = 3,142 kW

Antwoord

P = 3,142 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 409,1 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −64/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·24/88 = 409,1 rpm

Antwoord

n_c = 409,1 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,139 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·3000/(39000·2,902 × 10⁶) = 0,01988 rad

φ = 0,01988·180/π = 1,139°

Antwoord

φ = 1,139°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 46,62 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80)) = 46,62 mm

Antwoord

d = 46,62 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 86,44 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −40 − 120) = 172,9°

Hoek op het element

θ_p = 86,44°

Antwoord

θ_p = 86,44°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 47,22 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−55·0,9848 + 40·−0,1736 = 47,22 MPa

Antwoord

τ_θ = 47,22 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 6189 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/100000 = 0,006189 = 6189 µε

Antwoord

ε = 6189 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,306 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28,29·2000/200000 = 0,2829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·2000/117000 = 3,023 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,306 mm

Antwoord

δ = 3,306 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 6,229 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Antwoord

P_cr = 6,229 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 139,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 139,8 mm

Antwoord

d = 139,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 343,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 7,438 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(12000/5) = 48,99 rad/s

f_n = 48,99/(2π) = 7,797 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,797·√(1 − 0,3²) = 7,438 Hz

Antwoord

f_d = 7,438 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 10,56 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 100 = 110 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(110000/25) = 66,33 rad/s

f_n = 66,33/(2π) = 10,56 Hz

Antwoord

f_n = 10,56 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design