Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 22 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 25 tanden en een module van 5 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (32 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (32 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 32B = 72C = 18D = 32

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 75 mm en lengte 0,8 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 750 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1500 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 1500 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 500 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 100 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 2120 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 500 kgk = 100 kN/mc = 2120 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 5 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 3501 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 5·25 = 125 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·218,8/0,125 = 3501 N

Antwoord

F_t = 3501 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 240 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·32/72 = 426,7 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 426,7·18/32 = 240 rpm

Antwoord

n_out = 240 rpm

totale overbrengingsverhouding = 4 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 13,58 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·800/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,007429 rad

φ_BC = 750000·2000/(26000·251327) = 0,2296 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,007429 + 0,2296 = 0,237 rad = 13,58°

Antwoord

φ_C = 13,58°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 8,054 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 1500 = 3000 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 3 × 10⁶·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,07255 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,06801 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,07255 + 0,06801 = 0,1406 rad → |φ_C| = 8,054°

Antwoord

φ_C = 8,054°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 85 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((130 − −20)/2)² + 40²) = 85 MPa

Antwoord

τ_max = 85 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 164,6 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 130 + 20·0,766 + 30·0,6428 = 164,6 MPa

Antwoord

σ_θ = 164,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3129 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/117000 = 0,003129 = 3129 µε

Antwoord

ε = 3129 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 67,91 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·353429/589049 = 48000 N

Spanning

σ₂ = 48000/706,9 = 67,91 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 67,91 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 228,5 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228,5 kN

Antwoord

P_cr = 228,5 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 25,18 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Antwoord

σ_cr = 25,18 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1499

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·500) = 14142 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 2120/14142 = 0,1499

Antwoord

ζ = 0,1499

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 105 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 100 = 105 kN/m

Antwoord

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design