Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 120 mm met 960 rpm drijft via een riem met 2,5 % slip een schijf van 450 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 450 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 100 mm en een schijf van 250 mm waarvan de hartafstand 1200 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 3°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 500 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 75 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 20 mm draagt een axiale drukkracht van 140 kN samen met een wringend moment van 250 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 20 mmF = −140 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 50 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 120 kNdeel 1: Ø35 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 95 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 95 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 40 mm 3 perioden later een piek van 6 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 6 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 60 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 20 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 249,6 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

960·120/450 = 256 rpm

Met slip

n₂ = 256·0,975 = 249,6 rpm

Antwoord

n₂ = 249,6 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 172,8 °

Riemhoek

asin(0,0625) = 3,583°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·3,583 = 172,8°

Antwoord

θ = 172,8°

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 41,59 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·1200/(39000·0,05236) = 293825 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Antwoord

d = 41,59 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 51,7 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Diameter op sterkte

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51,7 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(39,32, 51,7) = 51,7 mm

Antwoord

d = 51,7 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 80,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((160 − 20)/2)² + −40²) = 80,62 MPa

Antwoord

τ_max = 80,62 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 51 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −140000/(π·20²/4) = −140000/314,2 = −445,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −222,8 MPa

R = √((−222,8)² + 159,2²) = 273,8 MPa

σ₁ = C + R = 51 MPa

σ₂ = C − R = −496,6 MPa

Antwoord

σ₁ = 51 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 18,95 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/70000 = 0,006316 = 6316 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,006316·3000 mm = 18,95 mm

Antwoord

δ = 18,95 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 382 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 382 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 382 MPa

Antwoord

σ_max = 382 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 46,63 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2100² = 46625 N = 46,63 kN

Antwoord

P_cr = 46,63 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 42,44 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42,44 mm

Antwoord

d = 42,44 mm

Controle: de slankheid KL/r is 98,97, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1001

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(40/6) = 0,6324

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6324/√(39,48 + 0,3999) = 0,1001

Antwoord

ζ = 0,1001

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,99 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 5 + 20 = 25 kN/m

k_eq = 25·60/(25 + 60) = 17,65 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(17647/50) = 18,79 rad/s

f_n = 18,79/(2π) = 2,99 Hz

Antwoord

f_n = 2,99 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design