Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 160 mm met 1450 rpm drijft via een riem met 1 % slip een schijf van 400 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 30 tanden en elk planeetwiel 12 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 900 rpm. Vind het toerental n_r van het ringwiel (grootte).

N_s = 30N_p = 12n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 2000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 500 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 250 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 60 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm één periode later een piek van 13,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₁ = 13,7 mmn = 1

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 15 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 574,2 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1450·160/400 = 580 rpm

Met slip

n₂ = 580·0,99 = 574,2 rpm

Antwoord

n₂ = 574,2 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_r = 500 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·12 = 54

Vergelijking van Willis met vaste planeetdrager

Met n_c = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·30/54 = −500 rpm

|n_r| = 500 rpm

Antwoord

n_r = 500 rpm

Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 61,27 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·75·0,5904)) = 61,27 mm

d_i = 0,8·61,27 = 49,02 mm

Antwoord

d_o = 61,27 mm

Een massieve as zou d = 51,4 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,433 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −250000·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,01511 rad

φ_BC = 250000·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,007557 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = −0,01511 + 0,007557 = −0,007557 rad → |φ_C| = 0,433°

Antwoord

φ_C = 0,433°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 28,15 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 20/36,06 = 0,5547, sin 2θ_s = −(−30)/36,06 = 0,8321

2θ_s = atan2(30, 20) = 56,31°

Hoek op het element

θ_s = 28,15°

controle: θ_s − θ_p = 28,15 − 73,15 = −45°

Antwoord

θ_s = 28,15°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 85 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 35 + −5·0 + −50·−1 = 85 MPa

Antwoord

σ_θ = 85 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1910 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 382/200000 = 0,00191 = 1910 µε

Antwoord

ε = 1910 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 191 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 191 MPa

Antwoord

σ_max = 191 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,406 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4200² = 4406 N = 4,406 kN

Antwoord

P_cr = 4,406 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06011

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/1)·ln(20/13,7) = 0,3783

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3783/√(39,48 + 0,1431) = 0,06011

Antwoord

ζ = 0,06011

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,464 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 50 + 5 = 55 kN/m

k_eq = 55·15/(55 + 15) = 11,79 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(11786/10) = 34,33 rad/s

f_n = 34,33/(2π) = 5,464 Hz

Antwoord

f_n = 5,464 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design