Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 5,5 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 25 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 72 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 5,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 72η = 100%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 18 tanden en elk planeetwiel 18 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1800 rpm. Vind het toerental n_r van het ringwiel (grootte).

N_s = 18N_p = 18n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, lengte 0,8 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Het element wordt 30° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 20 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 130 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 130 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 5 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,35 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 60 kN/m en de onderste k₂ = 25 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 105 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 36,47·72/25·1 = 105 N·m

Antwoord

T₂ = 105 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_r = 600 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·18 = 54

Vergelijking van Willis met vaste planeetdrager

Met n_c = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·18/54 = −600 rpm

|n_r| = 600 rpm

Antwoord

n_r = 600 rpm

Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,4276 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(39000·2,749 × 10⁶) = 0,007462 rad

φ = 0,007462·180/π = 0,4276°

Antwoord

φ = 0,4276°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·50)) = 31,89 mm

Antwoord

d = 31,89 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 21,34 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 30 − 0·0,5 − 10·0,866 = 21,34 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 38,66 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 21,34 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −60,8 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 25 + 85·−0,5 + −50·0,866 = −60,8 MPa

Antwoord

σ_θ = −60,8 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 565,9 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/200000 = 0,0005659 = 565,9 µε

Antwoord

ε = 565,9 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 176,8 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 176,8 MPa

Antwoord

σ_max = 176,8 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 8,721 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Antwoord

P_cr = 8,721 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 114,5 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 114,5 mm

Antwoord

d = 114,5 mm

Controle: de slankheid KL/r is 279,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 25,82 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(150000/5) = 173,2 rad/s

f_n = 173,2/(2π) = 27,57 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 27,57·√(1 − 0,35²) = 25,82 Hz

Antwoord

f_d = 25,82 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 17,65 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/25 → k_eq = 60·25/(60 + 25) = 17,65 kN/m

Antwoord

k_eq = 17,65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design