Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 100 mm met 2880 rpm. De spanning is 1000 N in het trekkende deel en 250 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 1450 rpm draait, tandwiel B (24 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1450 rpmA = 16B = 24C = 15D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 30 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 100 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 150 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 150 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 20 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 2 perioden later een piek van 10,9 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 10,9 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan veer k₃ = 10 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 25 kN/m en k₂ = 60 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 11,31 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 15,08 m/s

Vermogen

P = (1000 − 250)·15,08 = 11310 W = 11,31 kW

Antwoord

P = 11,31 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 241,7 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1450·16/24 = 966,7 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 966,7·15/60 = 241,7 rpm

Antwoord

n_out = 241,7 rpm

totale overbrengingsverhouding = 6 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 14,03 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·15708) = 0,2449 rad

φ = 0,2449·180/π = 14,03°

Antwoord

φ = 14,03°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 1,293 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 250 = −150 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −150000·800/(39000·79522) = −0,03869 rad

φ_BC = 100000·500/(39000·79522) = 0,01612 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = −0,03869 + 0,01612 = −0,02257 rad → |φ_C| = 1,293°

Antwoord

φ_C = 1,293°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −31,72 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 20/44,72 = 0,4472, sin 2θ_s = −40/44,72 = −0,8944

2θ_s = atan2(−40, 20) = −63,43°

Hoek op het element

θ_s = −31,72°

controle: θ_s − θ_p = −31,72 − 13,28 = −45°

Antwoord

θ_s = −31,72°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 62,74 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + 70·0,342 + 20·0,9397 = 62,74 MPa

Antwoord

σ_θ = 62,74 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,08282 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 150000·500/9,056 × 10⁸ = 0,08282 mm

Antwoord

δ = 0,08282 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,7074 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28,29·500/200000 = 0,07074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63,66·1000/100000 = 0,6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7074 mm

Antwoord

δ = 0,7074 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 78,96 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1000² = 78957 N = 78,96 kN

Antwoord

P_cr = 78,96 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 23,3 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 23,3 mm

Antwoord

d = 23,3 mm

Controle: de slankheid KL/r is 171,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,08031

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(30/10,9) = 0,5062

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5062/√(39,48 + 0,2563) = 0,08031

Antwoord

ζ = 0,08031

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 6,733 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 25 + 60 = 85 kN/m

k_eq = 85·10/(85 + 10) = 8,947 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(8947/5) = 42,3 rad/s

f_n = 42,3/(2π) = 6,733 Hz

Antwoord

f_n = 6,733 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design