Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 160 mm met 2880 rpm. De spanning is 1500 N in het trekkende deel en 300 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 3 kW met 2900 rpm drijft tandwiel A (25 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (50 tanden). Tandwiel C (40 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (50 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 3 kWn_in = 2900 rpmA = 25B = 50C = 40D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 400 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 400 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 15 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 10 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 90 kNdeel 1: Ø35 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 80 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm 4 perioden later een piek van 12,1 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₄ = 12,1 mmn = 4

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 20 kN/m en de onderste k₂ = 10 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 28,95 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 24,13 m/s

Vermogen

P = (1500 − 300)·24,13 = 28953 W = 28,95 kW

Antwoord

P = 28,95 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 23,72 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 2900·(25/50)·(40/50) = 1160 rpm

ω_out = 2π·1160/60 = 121,5 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 3000·0,98² = 2881 W

T_out = P_out/ω_out = 2881/121,5 = 23,72 N·m

Antwoord

T_out = 23,72 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,18 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1200/(26000·0,03491) = 528884 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 48,18 mm

Antwoord

d = 48,18 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 40,53 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/235619 = 40,53 MPa

Antwoord

τ_max = 40,53 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −25,67 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 20 − −60) = −51,34°

Hoek op het element

θ_p = −25,67°

Antwoord

θ_p = −25,67°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −68,68 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 35 + −85·0,766 + 60·−0,6428 = −68,68 MPa

Antwoord

σ_θ = −68,68 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,421 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/70000 = 0,0007105 = 710,5 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0007105·2000 mm = 1,421 mm

Antwoord

δ = 1,421 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,904 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·2000/200000 = 0,9354 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·1500/200000 = 5,968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,904 mm

Antwoord

δ = 6,904 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 11,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

Antwoord

P_cr = 11,7 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 73,69 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 73,69 mm

Antwoord

d = 73,69 mm

Controle: de slankheid KL/r is 135,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,01999

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/4)·ln(20/12,1) = 0,1256

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1256/√(39,48 + 0,01578) = 0,01999

Antwoord

ζ = 0,01999

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,599 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6,667 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(6667/25) = 16,33 rad/s

f_n = 16,33/(2π) = 2,599 Hz

Antwoord

f_n = 2,599 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design