Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 15N2​ = 25

Een motor van 0,75 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 25 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het koppel T1 op de motoras.

P = 0,75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 15N2 = 25η = 98%
T1 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
A = 18B = 36C = 30D = ?

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as met 2880 rpm en drijft tandwiel B (36 tanden) aan. Tandwiel C (30 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 900 rpm draaien. Hoeveel tanden ND moet tandwiel D hebben?

nin = 2880 rpmA = 18B = 36C = 30nout = 900 rpm
ND =
3.Torsie van assenGemiddeld
do​ = ?T = 500 N·m

Een holle as moet een wringend moment van 500 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.

T = 500 N·mdi/do = 0,5τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
d = 40 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 1500 N·mABC2,5 m0,8 m

Een massieve as van staal met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 2,5 m van A, en een wringend moment van 1500 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,8 m verder. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 1500 N·mAB = 2,5 mBC = 0,8 m
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −40σy​ = 30τxy​ = −40MPa

In een punt is σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Het element wordt 45° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σy′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σx = −40 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = 160σy​ = −20τxy​ = −50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τθ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 25 mmKoper1 mP = 40 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 40 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø4070 GPaØ80/60400 mm

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 100 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1,5 m40 × 100 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 2 md = 60 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 150 kN/mc = 770 N·s/mm = 100 kg

Een massa van 100 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 770 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 100 kgk = 150 kN/mc = 770 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 5k2​ = 80k3​ = 40m = 25 kg

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 80 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T1 = 4,775 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Antwoord

T1 = 4,775 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: ND = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

nB = nC = 2880·18/36 = 1440 rpm

Tanden op tandwiel D

ND = C·nC/nout = 30·1440/900 = 48

Antwoord

ND = 48
3.Torsie van assen

Antwoord: do = 37,87 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,9375)) = 37,87 mm
di = 0,5·37,87 = 18,94 mm

Antwoord

do = 37,87 mm

Een massieve as zou d = 37,07 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 139,3 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Inwendige wringende momenten

Draaizin van TC positief genomen.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 250 = 1750 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|max = 1750 N·m
τmax = 16·1,75 × 10⁶/(π·40³) = 139,3 MPa

Antwoord

τmax = 139,3 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σy′ = −45 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σy′ = −5 − (−35)·0 − (−40)·(−1) = −45 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σx′ = 35 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy

Antwoord

σy′ = −45 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τθ = 90 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

τθ = −90·−1 + −50·0 = 90 MPa

Antwoord

τθ = 90 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,6965 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/117000 = 0,0006965 = 696,5 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0006965·1000 mm = 0,6965 mm

Antwoord

δ = 0,6965 mm
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 324,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (staal)

Grootste belasting

Pmax = 0,0008·4,053 × 10⁸ = 324212 N = 324,2 kN

Antwoord

Pmax = 324,2 kN
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 334,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1050² = 334209 N = 334,2 kN

Antwoord

Pcr = 334,2 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 27,76 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266,7

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwoord

σcr = 27,76 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,09941

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·100) = 7746 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/cc = 770/7746 = 0,09941

Antwoord

ζ = 0,09941

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: fn = 5,25 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k12 = 5 + 80 = 85 kN/m
keq = 85·40/(85 + 40) = 27,2 kN/m

Eigenfrequentie

ωn = √(27200/25) = 32,98 rad/s
fn = 32,98/(2π) = 5,25 Hz

Antwoord

fn = 5,25 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design