Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 120 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 3 mm en een vertraging van 4 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 120 mmm = 3 mmi = 4

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (30 tanden) aan. Tandwiel C (16 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (32 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 20B = 30C = 16D = 32

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 10 kW overbrengen bij 500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 90 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 120 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 140 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 140 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 10 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,35 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 10 kgk = 150 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 5 kN/m en k₂ = 25 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 64

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/3 = 80

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

N₂ = 4·16 = 64

Antwoord

N₂ = 64

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 500 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·20/30 = 1000 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1000·16/32 = 500 rpm

Antwoord

n_out = 500 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 10,52 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(26000·251327) = 0,1836 rad

φ = 0,1836·180/π = 10,52°

Antwoord

φ = 10,52°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 26,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Antwoord

d = 26,89 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 47,17 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((110 − 60)/2)² + −40²) = 47,17 MPa

Antwoord

τ_max = 47,17 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −38,11 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −15 + −5·0,766 + 30·−0,6428 = −38,11 MPa

Antwoord

σ_θ = −38,11 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,046 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/70000 = 0,004093 = 4093 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,004093·500 mm = 2,046 mm

Antwoord

δ = 2,046 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 596,8 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 596,8 MPa

Antwoord

σ_max = 596,8 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 514 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2000² = 514042 N = 514 kN

Antwoord

P_cr = 514 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 75,81 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,81 mm

Antwoord

d = 75,81 mm

Controle: de slankheid KL/r is 105,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 18,26 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(150000/10) = 122,5 rad/s

f_n = 122,5/(2π) = 19,49 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 19,49·√(1 − 0,35²) = 18,26 Hz

Antwoord

f_d = 18,26 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,419 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 5 + 25 = 30 kN/m

k_eq = 30·100/(30 + 100) = 23,08 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(23077/50) = 21,48 rad/s

f_n = 21,48/(2π) = 3,419 Hz

Antwoord

f_n = 3,419 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design