Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 15 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 24 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 24η = 100%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (48 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (32 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 20B = 48C = 18D = 32

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 15 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −50 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 55 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 20 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 40 kN/m en k₂ = 80 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 298,4 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 149,2·24/12·1 = 298,4 N·m

Antwoord

T₂ = 298,4 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 225 rpm

Eerste trap

n_B = 960·20/48 = 400 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 400·18/32 = 225 rpm

Antwoord

n_out = 225 rpm

totale overbrengingsverhouding = 4,267 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 8,868 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·79522) = 0,1548 rad

φ = 0,1548·180/π = 8,868°

Antwoord

φ = 8,868°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 28,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Diameter op sterkte

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 28,89 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(22,99, 28,89) = 28,89 mm

Antwoord

d = 28,89 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 80 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 110 MPa, R = √(0² + (−50)²) = 50 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 60 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 160, 60)/2 = 80 MPa

Antwoord

τ_abs = 80 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 7,056 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 55 + −15·0,6428 + −50·0,766 = 7,056 MPa

Antwoord

σ_θ = 7,056 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,235 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/117000 = 0,004156 = 4156 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,004156·1500 mm = 6,235 mm

Antwoord

δ = 6,235 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 38,37 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·388772/860011 = 27123 N

Spanning

σ₂ = 27123/706,9 = 38,37 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 38,37 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 27,47 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

Antwoord

P_cr = 27,47 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 39,34 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Antwoord

σ_cr = 39,34 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,013 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(20000/80) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,6²) = 2,013 Hz

Antwoord

f_d = 2,013 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 12,33 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 80 = 120 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(120000/20) = 77,46 rad/s

f_n = 77,46/(2π) = 12,33 Hz

Antwoord

f_n = 12,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design