Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 45N2​ = 50

Een motor van 5,5 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 45 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 50 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 96%. Bereken het koppel T1 op de motoras.

P = 5,5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 45N2 = 50η = 96%
T1 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
A = 30B = 50C = 32D = 48

Een motor van 4 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (30 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (50 tanden). Tandwiel C (32 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 97%. Vind het uitgaande koppel Tout.

P = 4 kWnin = 1440 rpmA = 30B = 50C = 32D = 48ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 400 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Td = ?

Een massieve as moet 10 kW overbrengen bij 3000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 10 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −30σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.

σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = −20σy​ = −80τxy​ = 30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 10 mmStaal3 mP = 35 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 35 mmAluminium2 mØ 20 mmStaal1,5 mP = 80 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.

P = 80 kNdeel 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 2 md = 30 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 4 md = 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 12 kN/mζ = 0,7m = 100 kg

Een massa van 100 kg aan een veer met een stijfheid van 12 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,7 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.

m = 100 kgk = 12 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 60k2​ = 30m = 20 kg

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 60 kN/m en k₂ = 30 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T1 = 36,47 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Antwoord

T1 = 36,47 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: Tout = 62,4 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

nout = 1440·(30/50)·(32/48) = 576 rpm
ωout = 2π·576/60 = 60,32 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

Pout = 4000·0,97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/60,32 = 62,4 N·m

Antwoord

Tout = 62,4 N·m
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,155 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(26000·613592) = 0,03761 rad
φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Antwoord

φ = 2,155°
4.Torsie van assen

Antwoord: d = 14,8 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Antwoord

d = 14,8 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τmax = 30,41 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCτmax​

Straal van de cirkel van Mohr

τmax = R = √(((−30 − −20)/2)² + 30²) = 30,41 MPa

Antwoord

τmax = 30,41 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σθ = −39,02 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

σθ = −50 + 30·−0,5 + 30·0,866 = −39,02 MPa

Antwoord

σθ = −39,02 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 2228 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

Antwoord

ε = 2228 µε
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σmax = 254,6 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 83,15 MPa
σ2 = 254,6 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σmax = 254,6 MPa

Antwoord

σmax = 254,6 MPa
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 4,905 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Antwoord

Pcr = 4,905 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 35,25 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Antwoord

σcr = 35,25 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: fd = 1,245 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ωn = √(12000/100) = 10,95 rad/s
fn = 10,95/(2π) = 1,743 Hz

Gedempte eigenfrequentie

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,743·√(1 − 0,7²) = 1,245 Hz

Antwoord

fd = 1,245 Hz
12.Mechanische trillingen

Antwoord: keq = 90 kN/m

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.

keq = 60 + 30 = 90 kN/m

Antwoord

keq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design