Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel aan met 16 tanden en een module van 5 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 11 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (15 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (50 tanden) aan. Tandwiel C (24 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 50C = 24D = 72

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 30 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,75° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 12 mm één periode later een piek van 8,2 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 12 mmx₁ = 8,2 mmn = 1

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan veer k₃ = 60 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 60 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 1824 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 5·16 = 80 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·72,95/0,08 = 1824 N

Antwoord

F_t = 1824 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 300 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 3000·15/50 = 900 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 900·24/72 = 300 rpm

Antwoord

n_out = 300 rpm

totale overbrengingsverhouding = 10 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,5845 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(39000·251327) = 0,0102 rad

φ = 0,0102·180/π = 0,5845°

Antwoord

φ = 0,5845°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 48,59 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diameter op sterkte

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·50)) = 38,79 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,59 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(38,79, 48,59) = 48,59 mm

Antwoord

d = 48,59 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 20,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − 30)/2)² + −20²) = 20,62 MPa

Antwoord

τ_max = 20,62 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −50,19 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −35 + −45·0,766 + 30·0,6428 = −50,19 MPa

Antwoord

σ_θ = −50,19 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2559 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·800/3,126 × 10⁸ = 0,2559 mm

Antwoord

δ = 0,2559 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 287 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·4,783 × 10⁸ = 286984 N = 287 kN

Antwoord

P_max = 287 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 52,64 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/4000² = 52638 N = 52,64 kN

Antwoord

P_cr = 52,64 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,676 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06049

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/1)·ln(12/8,2) = 0,3808

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3808/√(39,48 + 0,145) = 0,06049

Antwoord

ζ = 0,06049

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,445 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 60 + 5 = 65 kN/m

k_eq = 65·60/(65 + 60) = 31,2 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(31200/40) = 27,93 rad/s

f_n = 27,93/(2π) = 4,445 Hz

Antwoord

f_n = 4,445 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design