Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 1 gang(en) draait met 960 rpm en drijft een wormwiel met 80 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 1N_w = 80n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 30 tanden en elk planeetwiel 24 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1500 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 30N_p = 24n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 42 mm, lengte 2,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 250 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 30 kW overbrengen bij 1450 rpm. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −20 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Het element wordt 30° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 30 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 75 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 75 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 20 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 20 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 15 kN/m en de onderste k₂ = 100 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 12 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 960·1/80 = 12 rpm

Antwoord

n_w = 12 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 416,7 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·24 = 78

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −78/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·30/108 = 416,7 rpm

Antwoord

n_c = 416,7 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,9497 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Wringhoek

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(39000·966855) = 0,01658 rad

φ = 0,01658·180/π = 0,9497°

Antwoord

φ = 0,9497°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 26,81 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·197572/(π·60·0,8704)) = 26,81 mm

d_i = 0,6·26,81 = 16,09 mm

Antwoord

d_o = 26,81 mm

Een massieve as zou d = 25,6 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 21,52 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 25 − (−45)·0,5 − 30·0,866 = 21,52 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 28,48 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 21,52 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 116,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 85 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 131,1 MPa, σ₂ = 38,9 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(131,1² − 131,1·38,9 + 38,9²) = 116,6 MPa

Antwoord

σ_vM = 116,6 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,197 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002132·1500 mm = 3,197 mm

Antwoord

δ = 3,197 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 10,76 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·274889/520326 = 21132 N

Spanning

σ₂ = 21132/1963 = 10,76 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 10,76 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 6,867 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Antwoord

P_cr = 6,867 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 35,27 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 35,27 mm

Antwoord

d = 35,27 mm

Controle: de slankheid KL/r is 113,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,013 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(20000/80) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,6²) = 2,013 Hz

Antwoord

f_d = 2,013 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,748 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/100 → k_eq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(13043/10) = 36,12 rad/s

f_n = 36,12/(2π) = 5,748 Hz

Antwoord

f_n = 5,748 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design